湖南省常德市第一中学2024-2025学年高一下学期期中考试数学试题（含答案）

常德市一中2025年上学期高一年级期中考试 数 学 参考答案 一、选择题： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 B D D A B C D C BC BC AC 二、填空题： 12. 13. 14. 2 三、解答题： 15．解：（1）由已知可得．（3分） 因为为纯虚数，所以，故． 所以．（6分） （2）由（Ⅰ）可得，．（9分） 即，，所以，．（12分） 所以向量在向量上的投影向量为．（15分） 16．解：（1）记圆柱底面的一条直径为AB，取AB中点，连接． 设圆柱的高为h，则， 所以．（2分） 所以圆柱的底面积为， 侧面积为，（4分） 圆柱的表面积为．（6分） 圆柱的体积为．（8分） （2）由（Ⅰ）知，圆柱的侧面积 （13分） 当且仅当时取等号，即当时， 圆柱的侧面积最大，最大值为．（15分） 17.解:（1）因为菱形的边长为，，，， 由向量的线性运算法则，可得， 所以 . （2）由（1）知，， 可得，即， ，即， 所以. 18. 解:(1)取中点为，连接， 在中，为中点，为中点， ， 在平行四边形中，为的中点， ， ， 四边形为平行四边形， 面面， 平面； (2)连接，相交于，连接， 面，面面面， ，， 即存在点M，M为PD上靠近P点的三等分点. 19.解:(1)， ， ， ， 又，， ，,， (2)， ，又， ， 设，，， ，三角形的三个角均小于120， 根据题意可得， 又， ， ， ． (3)由 ， ，， 由余弦定理可得， 同理可得，， 相加可得， 又， 所以， 由于, 所以又 故，所以， 故，且 故，当且仅当时等号成立， 又，所以 ， 令，则， 所以， 由于函数均为上的单调递增函数，故为的单调递增函数， 故，进而常德市一中2025年上学期高一年级期中考试试卷 数 学 时量：120分钟 满分：150分 命题：高二数学备课组 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1. 设i是虚数单位，则复数在复平面内所对应的点位于（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2. 一个平面图形用斜二测画法画出的直观图如图所示，此直观图恰好是一个边长为2的正方形，则原平面图形的面积为（ ） 4 B. C. 16 D. 8 3. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若，则b=（ ） A. B. C. D. 4. 若圆锥的轴截面为等腰直角三角形，则它的底面积与侧面积之比是（ ） A. B. C. D. 5. 中，角的对边分别是，，.若这个三角形有两解，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 若是夹角为的两个单位向量，则与的夹角为（ ） A. 30° B. 60° C. 120° D. 150° 7. 已知一个圆台的上底面圆的半径为2，下底面圆的半径为4，体积为56，则该圆台的高为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 8. 已知锐角中角，，所对边的长分别为，，，且，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．下列结论中正确的是（ ） A．若，则或 B．若，则 C．若复数满足，则的最大值为3 D．若（，），则 10．如图（1）是一个正四棱柱形的密闭容器水平放置，其底部镶嵌了同底的正四棱锥形实心装饰块，容器内盛有升水时，水面恰好经过正四棱锥的顶点，如果将容器倒置，水面也恰好过点（图（2））．下列四个命题中，正确的有（ ） A．正四棱锥的高等于正四棱柱高的一半 B．在图1容器中，若往容器内再注入升水， 则水面高度是容器高度的 C．将容器侧面水平放置时，水面也恰好过点 D．任意摆放该容器，当水面静止时，水面都恰好经过点 11．如图，的内角，所对的边分别为，，.若，且，是外一点，，，则下列说法正确的是（ ） A．是等边三角形 B．若，则四点共圆 C．四边形面积最大值为 D．四边形面积最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15 ... ...