1.2空间向量在立体几何中的应用 1．定义:两条异面直线之间的距离是指其中一条直线上任意一点到另一条直线距离的最小值.在棱长为1的正方体中,直线与之间的距离是( ) A. B. C. D. 2．已知平面的一个法向量为,点在平面内,点在平面外,则直线与平面所成角的大小为( ) A. B. C. D. 3．如图,正方体的棱长为2,E是的中点,则点A到直线的距离为( ) A. B. C. D. 4．已知是平面的一个法向量,且,则点M到平面的距离为( ) A.2 B. C.4 D. 5．我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线法向量，在平面直角坐标系中，过的直线l的一个法向量为，则直线l的点法式方程为：，化简得.类比以上做法，在空间直角坐标系中，经过点的平面的一个法向量为，则该平面的方程为( ) A. B. C. D. 6．在棱长为2的正方体中，E为线段的中点，则点到直线AE的距离为( ) A. B. C. D. 7．已知向量,都是直线l的方向向量,则x的值是( ) A.或1 B. C. D.1 8．已知直线l经过点，且向量是l的一个方向向量，则到直线l的距离为( ) A.1 B. C. D. 9．如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，点M，N分别为，的中点．则点B到平面的距离为( ) A. B. C. D. 10．如图，为平面与平面的交线，点P在平面上，点Q在平面上.以A为原点建立空间直角坐标系，z轴已经给出，平面的两个法向量，，平面的两个法向量，，则二面角为( ) A. B. C. D. 11．已知是平面的一个法向量,点在平面内,则点到平面的距离为_____. 12．已知平面经过点，且向量是平面的法向量，则点到平面的距离为_____. 13．已知平面的一个法向量为，平面内一点C的坐标为，平面外一点A的坐标为，则点A到平面的距离为_____. 14．在正方体中,,则点到直线的距离为_____. 15．在四棱锥中，底面ABCD是边长为1的正方形，底面ABCD，，E为PC的中点，则直线PC与平面BDE所成角的正弦值为_____. 16．如图所示，已知四棱柱是底面边长为1的正四棱柱.若点C到平面的距离为，则正四棱柱的高为_____. 17．如图，在多面体中，底面为矩形，底面，，且，，. (1)当时，求直线与平面所成角的正弦值. (2)是否存在实数，使得D在平面内的射影恰好为的重心？若存在，求出；若不存在，请说明理由. 参考答案 1．答案：B 解析：设为直线上任意一点,过M作,垂足为,可知此时M到直线距离最短 设,, 则, , ,, 即, ,即, , , , 当时,取得最小值, 故直线与之间的距离是. 故选:B. 2．答案：D 解析：由题意可得,而平面的一个法向量为, 故直线与平面所成角的正弦值为, 结合线面角范围为,可知直线与平面所成角的大小为, 故选:D 3．答案：D 解析：建立如图所示空间直角坐标系, ,,,,, 所以点A到直线的距离为. 故选：D. 4．答案：B 解析：依题意,点M到平面距离. 故选：B. 5．答案：A 解析：与平面向量类比，得到空间直角坐标系中， 经过点的平面的一个法向量为， 则该平面的方程为：， 化简得. 故选：A. 6．答案：B 解析：由题知，棱长为2的正方体中， E为线段的中点， 以A为原点，分别以，，的方向为x轴，y轴，z轴正方向空 建立空间直角坐标系 ，所以，， 所以， 所以点到直线的距离为 故选：B 7．答案：B 解析：依题意,向量,共线,则, 所以. 故选：B. 8．答案：C 解析：因为，， 所以，所以， 由题，所以l的一个单位方向向量为 ， 所以，因为直线l经过点， 所以点到直线l的距离 . 故选：C 9．答案：A 解析：如图，以A为坐标原点，，，为x，y，z轴所在直线， 建立空间直角坐标系， 则，，，， 因为点M，N分别为，的中点． 则， 可得，， 设平面的法向量， 则， 令，则，，可得， 所以点B到平面的距离为 . 故选：A. 10．答案：BC 解析：根据题意作图： 设二面角为， 则根据二面角定义可知， ， ，，. 故选：BC. 11．答案： 解析：由题可知, 所以点到平面的距离为. 故答案为:. 12．答 ... ...
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