2.7抛物线及其方程 1．二次函数图象的顶点的轨迹是( ) A.圆 B.椭圆 C.抛物线 D.双曲线 2．以坐标原点为焦点,直线为准线的抛物线的方程为( ) A. B. C. D. 3．已知抛物线以圆的圆心为焦点，则其标准方程为( ) A. B. C. D. 4．已知抛物线的焦点是，则抛物线的标准方程为( ) A. B. C. D. 5．若抛物线上一点到其焦点的距离为9,则该抛物线的方程为( ) A. B. C. D. 6．唐山市科技馆以“探索、创新、梦想、共享”为主题向社会大众免费开放，其中有一个“声聚焦装置”，通过两个大的抛物镜，演示声音的反射和聚焦过程.如图（1）所示：这两个抛物镜与轴截面的交线为抛物线，两个抛物镜相距小红站在其中一个金属圆环处说话，小明在另一个金属圆环处就会听到相应的声音.如图(2)，已知抛物镜的口径（直径）为，深度为，则金属圆环（抛物线焦点）到抛物镜底部（抛物线顶点）的距离大致为( ) A. B.0 C. D. 7．准线方程为的抛物线的标准方程是( ) A. B. C. D. 8．已知抛物线,则抛物线的准线方程为_____. 9．已知抛物线C的顶点为坐标原点，对称轴为坐标轴，若C恰过，，三点中的两点，则C的方程为_____. 10．若抛物线的焦点到它的准线距离为1，则实数_____. 11．若抛物线上一点与焦点的距离等于2，则_____. 12．已知抛物线上一点A到焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则_____. 13．已知抛物线和点，点M在此抛物线上运动，求点M到点A的距离的最小值，并指出取得最小值时点M的坐标. 14．已知抛物线的顶点是坐标原点O，对称轴为x轴，焦点为F，抛物线上的点A的横坐标为2，且，求此抛物线的方程. 15．设抛物线上一点M的横坐标为，证明M到抛物线焦点的距离为，并总结出关于抛物线其他形式的标准方程的类似结论. 16．已知正三角形AOB的顶点A，B在抛物线上，O是坐标原点，求的边长. 参考答案 1．答案：C 解析：由,则顶点坐标为, 所以顶点的轨迹是,为抛物线. 故选:C 2．答案：B 解析：将该抛物线向右平移1个单位长度, 所得的抛物线C以点为焦点,直线为准线, 故抛物线的方程为,再将其向左平移1个单位长度, 得原抛物线的方程为. 故选:B. 3．答案：D 解析：因为的圆心为， 所以，得到， 又焦点在y轴的正半轴上， 所以抛物线的标准方程为， 故选：D. 4．答案：A 解析：设抛物线的方程为， 因为抛物线的焦点是， 所以，所以， 所以抛物线的标准方程为. 故选：A. 5．答案：B 解析：抛物线的准线方程为, 所以点P到焦点的距离为, 所以,抛物线的方程为. 故选：B. 6．答案：A 解析：建立如图所示平面直角坐标系： 则设抛物线方程为：， 因为在抛物线上， 所以，解得， 则， 即金属圆环（抛物线焦点）到抛物镜底部（抛物线顶点）的距离大致为， 故选：A 7．答案：D 解析：由题意可知抛物线开口向下,故设抛物线方程为. 因为抛物线的准线方程为,所以,即,所以该抛物线的标准方程为. 故选:D. 8．答案： 解析： 9．答案： 解析：因为抛物线C的顶点为坐标原点，对称轴为坐标轴， 且C恰过，，三点中的两点， 因为点和不关于坐标轴对称， 所以抛物线不可能过和两点， 又因为在第一象限，在第三象限， 即抛物线C不可能同时过和两点， 所以抛物线C经过与两点， 设抛物线C的方程为， 则， 解得， 则C的方程为. 故答案为：. 10．答案： 解析：由题意得，解得. 故答案为： 11．答案： 解析：由得， 所以准线方程为， 因为点与焦点的距离等于2， 所以点与准线的距离等于2， 即，解得， 故答案为：. 12．答案：6 解析：设焦点为F，由抛物线的定义知，即，解得. 13．答案：，此时 解析：设， ， 时，，此时. 14．答案： 解析：由题意，设抛物线方程为，点，则， 从而，，故. 又，所以，所以抛物线方程为. 15．答案：见解析 解析：设， ， . 结论：对于，； 对于，； 对于，. 16．答案： ... ...
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