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课件网) 第五章 一元函数的导数及其应用 章末整合提升 知识体系构建 核心知识归纳 1．导数的几何意义的应用：利用导数的几何意义可以求出曲线上任意一点处的切线方程y－y0＝f ′(x0)(x－x0)，明确“过点P(x0，y0)的曲线y＝f (x)的切线方程”与“在点P(x0，y0)处的曲线y＝f (x)的切线方程”的异同点． 2．围绕着切点有三个等量关系：切点(x0，y0)，则k＝f ′(x0)，y0＝f (x0)，(x0，y0)满足切线方程，在求解参数问题中经常用到． 3．利用导数确定参数的取值范围时，要充分利用f(x)与其导数f ′(x)之间的对应关系，然后结合函数的单调性等知识求解． 求解参数范围的步骤为： (1)对含参数的函数f(x)求导，得到f ′(x)； (2)若函数f(x)在(a，b)上单调递增，则f ′(x)≥0恒成立；若函数f(x)在(a，b)上单调递减，则f ′(x)≤0恒成立，得到关于参数的不等式，解出参数范围； (3)验证参数范围中取等号时，是否恒有f ′(x)＝0.若f ′(x)＝0恒成立，则函数f(x)在(a，b)上为常函数，舍去此参数值． 4．求连续函数f (x)在区间[a，b]上的最值的方法 (1)若函数f (x)在区间[a，b]上单调递增或递减，则f (a)与f (b)一个为最大值，一个为最小值； (2)若函数f (x)在闭区间[a，b]内有极值，则要先求出[a，b]上的极值，再与f (a)，f(b)比较，最大的是最大值，最小的是最小值，可列表完成． 5．已知函数的极值(最值)情况求参数的值(取值范围)的方法 根据极值和最值的关系，与最值有关的问题一般可以转化为极值问题． 已知f (x)在某点x0处有极值，求参数的值(取值范围)时，应逆向考虑，可先将参数当作常数，按照求极值的一般方法求解，再依据极值与导数的关系，列等式(不等式)求解． 6．解决优化问题的步骤 (1)要分析问题中各个数量之间的关系，建立适当的函数模型，并确定函数的定义域． (2)要通过研究相应函数的性质，如单调性、极值与最值，提出优化方案，使问题得以解决，在这个过程中，导数是一个有力的工具． (3)验证数学问题的解是否满足实际意义． 要点专项突破 [答案] y＝3x－2 要点一 导数的几何意义及其应用 要点二 利用导数研究函数的单调性、极值与最值 [答案] C 4.(2024·山东威海高三检测)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，过曲线y＝f(x)上的点P(1，f(1))的切线方程为y＝3x＋1，y＝f(x)在x＝－2时有极值． (1)求f(x)的解析式； (2)求y＝f(x)在[－3,1]上的单调区间和最大值． [解析] (1)f ′(x)＝3x2＋2ax＋b，f ′(1)＝3＋2a＋b， 过曲线上P点的切线方程为y－f(1)＝(3＋2a＋b)(x－1)， 即y－(a＋b＋c＋1)＝(3＋2a＋b)(x－1)， 整理得，y＝(3＋2a＋b)x－a＋c－2. 已知该切线方程为y＝3x＋1， (1)求函数f(x)的解析式； (2)若在区间[0，m](m>0)上恒有f(x)≤x成立，求m的取值范围． 要点三 利用导数求参数的取值范围 (2)f(x)≤x在[0，m]上恒成立 f(x)－x≤0在[0，m]上恒成立 [0，m]是f(x)≤x的解集的子区间，当f(x)－x的最值不易求时，可进行适当的转化． 6.设函数f(x)＝x2＋aln(1＋x)有两个极值点x1，x2，且x1
0)，贷款的利率为4.8%，假设银行吸收的存款能全部放贷出去．若存款利率为x(x∈(0,0.048))，则银行获得最大收益的存款利率为( ) A．3.2% B．2.4% C．4% D．3.6% [答案] A 要点五 利用导数解决实际问题 [解析] 依题意知，存款量是kx2，银行应支付的利息是k ... ... 