专题10.2 事件的相互独立性【六大题型】（举一反三）（含答案）2024-2025学年高一数学举一反三系列（人教A版2019必修第二册）

专题 10.2 事件的相互独立性【六大题型】 【人教 A 版（2019）】 【题型 1 独立事件的判断】 ....................................................................................................................................2 【题型 2 相互独立事件的概率】 ............................................................................................................................3 【题型 3 相互独立事件与互斥事件】 ....................................................................................................................4 【题型 4 独立事件的实际应用】 ............................................................................................................................4 【题型 5 互斥事件、事件的相互独立性的综合应用】 ........................................................................................5 【题型 6 独立事件与其他知识综合】 ....................................................................................................................7 【知识点 1 事件的相互独立性】 1．事件的相互独立性 (1)定义 对任意两个事件 A 与 B，如果 P(AB)=P(A)P(B)成立，则称事件 A 与事件 B 相互独立，简称为独立. (2)性质 若事件 A 与 B 相互独立，则 与 B，A 与 ， 与 也相互独立. (3)应用 因为“A 与 B 相互独立”是“P(AB)=P(A)P(B)”的充要条件，所以如果已知两个事件是相互独立的，则由它 们各自发生的概率可以迅速得到它们同时发生的概率.在实际问题中，我们常常依据实际背景去判断事件之 间是否存在相互影响，若认为事件之间没有影响，则认为它们相互独立. (4)推广 两个事件的相互独立性可以推广到 n(n>2，n∈N*)个事件的相互独立性，即若事件 A1，A2，···，An相互 独立，则这 n 个事件同时发生的概率 P(A1A2···An)=P(A1)P(A2)···P(An). 2．互斥事件与相互独立事件的辨析 (1)互斥事件与相互独立事件都描述的是两个事件间的关系，但互斥事件强调不可能同时发生，相互独 立事件则强调一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响.用表格表示如下： 相互独立事件 互斥事件 判断方法 一个事件的发生与否对另一个 两个事件不可能同时发生，即 事件发生的概率没有影响. AB= . 概率公式 若事件 A 与 B 相互独立，则 若事件 A 与 B 互斥，则 P（A∪ P(AB)=P(A)P(B). B）=P（A）+P（B），反之不成 立. (2)已知事件 A，B 发生的概率分别为 P(A)，P(B)，我们有如下结论： 事件 表示 概率（A，B 互斥） 概率（A，B 相互独立） A，B 中至少有一 P(A∪B) P(A)+P(B) 或 个发生 P(A)+P(B) A，B 都发生 P(AB) 0 P(A)P(B) A，B 都不发生 [P(A)+P(B)] A，B 恰有一个发 P(A)+P(B) 生 A，B 中至多有一 1 P(A)P(B) 个发生 3．求相互独立事件同时发生的概率的方法 (1)利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解. (2)正面计算较繁(如求用“至少”表述的事件的概率)或难以入手时，可从其对立事件入手计算. 【题型 1 独立事件的判断】 【例 1】（24-25 高一·全国·课后作业）下列事件 A，B 是相互独立事件的是（ ） A．一枚硬币掷两次，A 表示“第一次为正面”，B 表示“第二次为反面” B．袋中有 2 个白球，2 个黑球，不放回地摸球两次，每次摸一球，A 表示“第一次摸到白球”，B 表示“第 二次摸到白球” C．掷一枚骰子，A 表示“出现点数为奇数”，B 表示“出现点数为偶数” D．A 表示“一个灯泡能用 1000 小时”，B 表示“一个灯泡能用 2000 小时” 【变式 1-1】（23-24 高一下·吉林延边·期末）有 4 个大小质地相同的小球，分别标 ... ...