专题7.3 复数的三角表示【七大题型】（举一反三）（含答案）2024-2025学年高一数学举一反三系列（人教A版2019必修第二册）

专题 7.3 复数的三角表示【七大题型】 【人教 A 版（2019）】 【题型 1 复数的三角表示】 ....................................................................................................................................2 【题型 2 求辅角主值】 ............................................................................................................................................3 【题型 3 三角表示下复数的乘方与开方】 ............................................................................................................5 【题型 4 复数的代数形式与三角形式的互化】 ....................................................................................................6 【题型 5 三角表示下复数的几何意义】 ..............................................................................................................10 【题型 6 复数乘、除运算的三角表示】 ..............................................................................................................12 【题型 7 复数乘、除运算的几何意义的应用】 ..................................................................................................15 【知识点 1 复数的三角表示式】 1．复数的三角表示式 (1)复数的三角表示式 如图，我们可以用刻画向量大小的模 r 和刻画向量方向的角 θ 来表示复数 z. 一般地，任何一个复数 z=a+bi 都可以表示成 r(cosθ+isinθ)的形式. 概念名称 概念的说明 模 r r 是复数 z 的模， ) θ 是以 x 轴的非负半轴为始边，向量 所在射线(射线 OZ)为终边的 辐角 θ 角，且 r(cosθ+isinθ)叫做复数 z=a+bi 的三角表示式，简称三角形式，该式 三角形式 的结构特征是：模非负，角相同，余弦前，加号连 (2)辅角的主值 显然，任何一个不为零的复数的辐角有无限多个值，且这些值相差 2π 的整数倍.例如，复数 i 的辐角是 ，其中 k 可以取任何整数.对于复数 0，因为它对应着零向量，而零向量的方向是任意的，所以复 数0的辐角也是任意的.我们规定在0≤θ<2π范围内的辐角θ的值为辐角的主值.通常记作 argz，即0 argz<2π. (3)三角形式下的复数相等 每一个不等于零的复数有唯一的模与辐角的主值，并且由它的模与辐角的主值唯一确定.因此，两个非 零复数相等当且仅当它们的模与辐角的主值分别相等. 【题型 1 复数的三角表示】 【例 1】（24-25 高一上·上海·课后作业） 1 3i的三角形式是（ ） A． 2 cos π + isin π B．2 cos π + isin 2π 3 3 3 3 C 7π 7π 4π．2 sin + icos D．2 cos + isin 4π 6 6 3 3 【解题思路】合理化简原复数，表示为三角形式即可. 1 3i = 2( 1 3i) = 2 cos 4π + isin 4π【解答过程】由题意得 2 ，故 D 正确.2 3 3 故选：D. 【变式 1-1】（2024 高一下·全国·专题练习）复数 = sin15 + i cos15 的三角形式是（ ） A．cos195 + i sin195 B．sin75 + i cos75 C．cos15 + i sin15 D．cos75 + i sin75 【解题思路】由复数的三角形式定义以及诱导公式即可求解. 【解答过程】 = sin15 + i cos15 = cos75 + i sin75 . 故选：D. 2 【变式 1-2】（2024·湖北·二模）复数1 3i与下列复数相等的是（ ） A cos π + isin π． B．cos π + isin 4π 3 3 3 3 C 3 1． + i D． 1 i 2 2 3 【解题思路】应用复数的除法化简，结合复数的三角表示、各项的形式判断正误即可. 2 2(1+ 3i) 1 3 π π 【解答过程】由题设， = = + i = cos + isin1 3i (1 3i)(1+ 3i) 2 3 3，故 A、C、D 错误；2 π π π 而cos + isin 4π = cos3 + isin3，故 B 正 ... ...