第一章 §3 3.1 第1课时 A 组·基础自测 一、选择题 1．在等比数列{an}中，a4＝4，则a2·a6等于( C ) A．4 B．8 C．16 D．32 [解析] ∵a4＝a1q3＝4，∴a2·a6＝a1q·a1q5＝aq6＝(a1q3)2＝42＝16. 2．在等比数列{an}中，an>0，且a1＋a2＝1，a3＋a4＝9，则a4＋a5的值为( B ) A．16 B．27 C．36 D．81 [解析] a3＋a4＝a1q2＋a2q2＝q2(a1＋a2)＝q2＝9，又∵an>0，∴q＝3.∴a4＋a5＝a3q＋a4q＝(a3＋a4)q＝9×3＝27. 3．等比数列{an}的公比为q，且|q|≠1，a1＝－1，若am＝a1·a2·a3·a4·a5，则m等于( C ) A．9 B．10 C．11 D．12 [解析] 因为a1·a2·a3·a4·a5＝a1·a1q·a1q2·a1q3·a1q4＝a·q10＝－q10，am＝a1qm－1＝－qm－1，所以－q10＝－qm－1，所以10＝m－1，所以m＝11. 4．已知等比数列{an}的公比为q，若a2，a5的等差中项为4，a5，a8的等差中项为8，则logq的值为( A ) A．－ B． C．－2 D．2 [解析] 由已知得 ∴ 解得q＝，∴logq＝log＝log 2－12＝－. 5．(多选)下列四种说法中正确的有( AD ) A．等比数列的所有项都不可以为0 B．等比数列的公比取值范围是R C．若b2＝ac，则a，b，c成等比数列 D．若一个常数列是等比数列，则其公比是1 [解析] 从第二项起，每一项与前一项之比均为同一非零常数的数列，称为等比数列，所以等比数列任一项不能为0，且公比也不为0，故A正确，B错误；若a＝b＝c＝0，满足b2＝ac，但a，b，c不成等比数列，故C错误；若一个常数列是等比数列，则an＝an＋1≠0，所以q＝1，故D正确． 二、填空题 6．已知等比数列前3项为，－，，则其第8项是 － . [解析] ∵a1＝，a2＝a1q＝q＝－， ∴q＝－，∴a8＝a1q7＝×7＝－. 7．正项等比数列{an}，若3a1，a3,2a2成等差数列，则{an}的公比q＝_3__. [解析] 因为正项等比数列{an},3a1，a3,2a2成等差数列， 所以， 解得q＝3.所以{an}的公比q＝3. 8．(2023·全国乙卷)已知{an}为等比数列，a2a4a5＝a3a6，a9a10＝－8，则a7＝_－2__. [解析] 设{an}的公比为q(q≠0)，则a2a4a5＝a3a6＝a2q·a5q，显然an≠0， 则a4＝q2，即a1q3＝q2，则a1q＝1，因为a9a10＝－8，则a1q8·a1q9＝－8， 则q15＝(q5)3＝－8＝(－2)3，则q5＝－2，则a7＝a1q·q5＝q5＝－2. 三、解答题 9．已知数列{an}为等比数列，an＞0，a1＝2,2a2＋a3＝30. (1)求an； (2)若数列{bn}满足bn＋1＝bn＋an，b1＝a2，求b5. [解析] (1)设公比为q，由题意得2a1q＋a1q2＝30， ∴4q＋2q2＝30， ∴q2＋2q－15＝0， ∴q＝3或－5. ∵an＞0，∴q＝3. ∴an＝a1qn－1＝2·3n－1. (2)∵b1＝a2，∴b1＝6. 又bn＋1＝bn＋an，∴bn＋1＝bn＋2·3n－1. ∴b2＝b1＋2×30＝6＋2＝8， b3＝b2＋2×31＝8＋6＝14， b4＝b3＋2×32＝14＋18＝32， b5＝b4＋2×33＝32＋54＝86. 10．已知数列{an}满足a1＝1，nan＋1＝2an，设bn＝. (1)求b1，b2，b3； (2)判断数列{bn}是否为等比数列，并说明理由； (3)求{an}的通项公式． [解析] (1)由条件可得an＋1＝an. 将n＝1代入得，a2＝4a1，而a1＝1，所以，a2＝4. 将n＝2代入得，a3＝3a2，所以，a3＝12. 从而b1＝1，b2＝2，b3＝4. (2)数列{bn}是首项为1，公比为2的等比数列．理由如下： 由条件可得＝，即bn＋1＝2bn，又b1＝1， 所以数列{bn}是首项为1，公比为2的等比数列． (3)由(2)可得＝2n－1，所以an＝n·2n－1. B 组·能力提升 一、选择题 1．已知数列{an}满足a1＝2，an＋1＝3an＋2，则a4的值为( B ) A．79 B．80 C．81 D．82 [解析] 因为an＋1＝3an＋2， 所以an＋1＋1＝3(an＋1)， 所以{an＋1}是首项为3，公比为3的等比数列， 所以an＋1＝3n，an＝3n－1，a4＝34－1＝80. 2．一批设备价值a万元，由于使用磨损，每年比上一年价值降低b%，则n年后这批设备的价值为( C ) A．na(1－b%) B ... ...
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