9．4　向量应用 学案（2课时，含答案）2024-2025学年高一数学苏教版（2019）必修第二册

9．4　向 量 应 用 9.4.1　向量应用(1) 会用向量方法解决简单的平面几何问题、力学问题． 活动一 掌握向量在物理中的应用 物理中有许多量，比如力、速度、加速度、位移等都是具有大小和方向的，因而它们都是向量．向量在物理学中最基本的应用就是力、速度、加速度、位移等的合成与分解，在物理中动量是向量的数乘，力所做的功是向量的数量积． 例1　如图，无弹性的细绳OA，OB的一端分别固定在点A，B处，同样的细绳OC下端系着一个称盘，且使得OB⊥OC，试分析OA，OB，OC三根绳子受力的大小，并判断哪根绳受力最大． 用向量法解决物理问题的一般步骤： (1) 把物理问题中的相关量用向量表示； (2) 转化为向量问题的模型，通过向量运算使问题解决； (3) 将结果还原为物理问题，解释物理现象． 在静水中划船的速度是每分钟40 m，水流的速度是每分钟20 m，如果船从岸边出发，径直沿垂直于水流的航线到达对岸，那么船行进的方向应该指向哪里？ 活动二　掌握向量在平面几何中的应用　 阅读： 由于向量的数量积主要涉及向量的模及向量的夹角，因此平面几何中涉及距离(线段长度)、垂直和夹角问题时，常利用向量的数量积运算及其性质来解决． 例2　已知⊥，⊥，求证：⊥. 思考 你能否画一个几何图形来解释例2 　　 向量在平面几何中的应用： (1) 证明线段平行问题，包括相似问题，常用向量平行(共线)的等价条件：向量b＝(x2，y2)与非零向量a＝(x1，y1)共线 存在唯一实数λ使得b＝λa x1y2＝x2y1. (2) 证明垂直问题，如证明四边形是矩形、正方形等，常用向量垂直的等价条件：a⊥b a·b＝0 x1x2＋y1y2＝0. (3) 求夹角问题： cos θ＝＝. (4) 求线段长度或证明线段相等，可利用向量的线性运算、向量模的公式： ||＝. 已知D是△ABC内的一点，且AB2－AC2＝DB2－DC2，求证：AD⊥BC. 1. (教材改编)已知同一平面内的三个力F1，F2，F3作用于同一个物体，且该物体处于平衡状态，若 |F1|＝3，|F2|＝4，且F1与F2的夹角为120°，则力F3的大小为(　　) A. 37 B. C. 13 D. 2. (2024广州月考)有一条东西向的小河，一艘小船从河南岸的渡口出发渡河．小船在静水中的航行速度的大小为15 km/h，方向为北偏西30°，水流的速度的大小为7.5 km/h，方向为正东方向，则小船实际航行速度的大小与方向分别为(　　) A. km/h，正北 B. km/h，与水流方向的夹角为63.4° C. km/h，与水流方向的夹角为41° D. km/h，垂直于河岸 3. (多选)(2024苏州月考)已知△ABC满足AB＝3，AC＝4，则下列结论中正确的是(　　) A. 若点O为△ABC的重心，则＝＋ B. 若点O为△ABC的外心，则·＝ C. 若点O为△ABC的垂心，则＝＋ D. 若点O为△ABC的内心，则＝λ 4. 一个物体在力F＝(1，2)的作用下产生位移s＝(3，4)，那么力F所做的功为_____． 5. (教材改编)在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠CDA＝∠DAB＝90°，CD＝DA＝AB，求证：AC⊥BC. 9．4.2　向量应用(2) 掌握向量的应用，提高解决实际问题的能力． 活动 向量在平面几何中的应用 例1　在四边形ABCD中，若＝，|＋|＝|－|，试判断四边形的形状． 在△ABC中，AB＝3，AC＝2，∠BAC＝60°. (1) 求边BC的长； (2) 求边BC的中线AD的长． 平面几何的问题可以转化为向量问题，解决向量问题又有两种方法：一是利用向量的几何方法解决；二是建系解决． 例2　在边长为2的等边三角形ABC中，D为边AB的中点，若P为线段CD上的动点，求(＋)·的最小值． 向量中的最值问题可以用代数方法解决，主要是列出函数表达式，也可以用几何方法，主要是画出适合条件的图形． (2023宁波期中)已知在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，E为AB的中点，P为边DC上的动点(不包括端点). (1) 求·的最小值； (2) 设线段AP与DE的交点为G，求·的最小值． 1. (教材改编)在△ABC中，D是边BC的中 ... ...