专题06 复数的综合运用（8大题型）-直击2025期末：高一数学下册必考题型全解析（人教A版2019）（学生版+教师版）

中小学教育资源及组卷应用平台 专题06 复数的综合运用 【题型归纳目录】 题型一：复数的概念 题型二：复数的几何意义 题型三：复数的最值问题 题型四：复数相等与共轭复数 题型五：复数的三角形式 题型六：复数模的综合应用 题型七：复数方程 题型八：复数的四则运算 【知识点梳理】 一、基本概念 （1）叫虚数单位，满足 ，当时，． （2）形如的数叫复数，记作． ①复数与复平面上的点一一对应，叫z的实部，b叫z的虚部； Z点组成实轴；叫虚数；且，z叫纯虚数，纯虚数对应点组成虚轴（不包括原点）．两个实部相等，虚部互为相反数的复数互为共轭复数． ②两个复数相等（两复数对应同一点） ③复数的模：复数的模，也就是向量的模，即有向线段的长度，其计算公式为，显然，． 二、基本性质 1、复数运算 （1） （2） 其中，叫z的模；是的共轭复数． （3）． 实数的全部运算律（加法和乘法的交换律、结合律、分配律及整数指数幂运算法则）都适用于复数． 2、复数的几何意义 （1）复数对应平面内的点； （2）复数对应平面向量； （3）复平面内实轴上的点表示实数，除原点外虚轴上的点表示虚数，各象限内的点都表示复数． （4）复数的模表示复平面内的点到原点的距离． 【典型例题】 题型一：复数的概念 【例1】（24-25高一下·福建福州·期中）复数的虚部是（ ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【解析】的实部为虚部为， 故选：C. 【变式1-1】（24-25高一下·湖南衡阳·期中）已知复数，以下说法不正确的是（ ） A．的实部是5 B．在复平面内对应的点在第一象限 C． D． 【答案】B 【解析】由复数的定义和性质可知，的实部是5，故A正确； 在复平面内对应的点为，为第四象限的点，故B错误； ，故C正确；，故D正确. 故选：B 【变式1-2】（23-24高一下·山东临沂·期中）下列几个命题，其中正确的命题的个数有（ ） （1）实数的共轭复数是它本身 （2）复数的实部是实数，虚部是虚数 （3）复数与复平面内的点一一对应 （4）复数是最小的纯虚数. A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【解析】因为复数的共轭复数， 若为实数，则，此时，命题（1）正确， 复数的实部为，虚部为， 复数的虚部是实数，（2）错误； 因为复数在复平面上的对应点为， 复平面上的点对应复数，（3）正确； 复数不能比较大小，命题（4）错误， 故选：C. 题型二：复数的几何意义 【例2】（24-25高一下·福建福州·期中）如图，在复平面内每个小方格的边长均为1，向量对应的复数分别为，则（ ） A．9 B． C．5 D． 【答案】B 【解析】由图可知， 所以. 故选：B. 【变式2-1】（24-25高一下·广西防城港·期中）如图，在复平面内，复数对应的向量分别是，则对应的点位于（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【解析】依题意，，则， 所以对应的点的坐标为位于第三象限. 故选：C 【变式2-2】（24-25高一下·山西·期中）复数在复平面内对应的点位于（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【解析】因为， 所以， 则其在复平面内对应的点位于第四象限． 故选：D. 题型三：复数的最值问题 【例3】（24-25高一下·浙江杭州·期中）复数，满足，，则的最小值为 . 【答案】/ 【解析】设，则，由，得， 整理得，即在复平面内对应点的轨迹为直线， 由，得在复平面内对应点的轨迹是以点为圆心，为半径的圆， 过点作于点，线段交圆于，则为等腰直角三角形，， 而表示在复平面内复数对应点的距离， 所以的最小值为. 故答案为： 【变式3-1】（24-25高一下·重庆·期中）已知复数满足，则的最小值为 ． 【答案】 【解析】设复数，因为， 所以，所以， 所以，所以， 所以， 当且仅当时，取等号，即的最小值为. 故答案为：. 【变式3-2 ... ...