甘肃省庆阳第一中学2024-2025学年高三下学期第二次模拟考试数学试题(含详解和答题卡)

庆阳市第一中学2025届第二次模拟考试 数学答案 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 D D C C C B C A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 ACD BCD ACD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．3 13．40 14．2　2 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分） 【解析】(1)因为m∥n， 所以c(sinB－sinC)－(b－a)(sinA＋sinB)＝0， 由正弦定理得c(b－c)－(b－a)(a＋b)＝0， 即bc－c2＋a2－b2＝0， 即b2＋c2－a2＝bc， 所以由余弦定理的推论得cosA＝＝， 又A∈(0，π)，所以A＝. (2)因为A＝，所以B＋C＝， 则cos(B＋C)＝－， 即cosBcosC－sinBsinC＝－， 又cosBcosC＝－， 所以sinBsinC＝. 因为△ABC的外接圆半径R＝2， 所以由正弦定理可得sinBsinC＝·＝＝， 所以bc＝， 所以S△ABC＝bcsinA＝××＝. 16．（15分） 【解析】(1)证法一：取PD的中点G，连接GF，CG， 因为G，F分别为PD，PA的中点， 所以GF∥AD，且GF＝AD. 又四边形ABCD为矩形，且E为BC的中点， 所以CE∥AD，且CE＝AD， 所以GF∥CE，且GF＝CE， 所以四边形CEFG为平行四边形， 所以EF∥CG.又EF 平面PCD，CG 平面PCD， 所以EF∥平面PCD. 证法二：取AD的中点M，连接FM，ME， 则EM∥CD，FM∥PD， 因为EM 平面PCD，CD 平面PCD， 所以EM∥平面PCD， 同理FM∥平面PCD. 又EM∩FM＝M，EM，FM 平面EFM， 所以平面EFM∥平面PCD. 又EF 平面EFM，所以EF∥平面PCD. (2)因为平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD＝AB，PA⊥AB，PA 平面PAB， 所以PA⊥平面ABCD. 如图所示，以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系， 则A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,2,0)，D(0,2,0)，P(0,0,1)，E(1,1,0)，F， 可得D＝(1，－1,0)，D＝，P＝(0,2，－1)． 设平面DEF的法向量为n＝(x，y，z)， 则 令x＝1，则y＝1，z＝4， 可得n＝(1,1,4)． 设直线PD与平面DEF所成的角为θ， 则sinθ＝|cos〈n，P〉|＝＝＝， 所以cosθ＝＝＝， 即直线PD与平面DEF所成角的余弦值为. 17．（15分） 【解析】(1)设每位顾客获得X元奖券，X的所有可能取值为：100,50,0， P(X＝100)＝××＝， P(X＝50)＝×C××＋×2＝， P(X＝0)＝1－－＝， ∴每位顾客获得奖券金额的期望是 E(X)＝100×＋50×＋0＝16(元)． (2)设“该顾客中奖”为事件M，参加项目A，B，C分别记为事件N1，N2，N3， 则P(M)＝(Ni)P(M|Ni)＝×＋×＋×＝， ∴P(N1|M)＝＝＝＝， 即已知某顾客中奖了，则他参加的是A项目的概率是. 18．（17分） 【解析】(1)∵l1，l2与抛物线E相切于C，D两点， ∴不妨令C，D， 此时l1的方程：－x＝2·，即x＋y＋＝0， l2方程：x＝2·，即x－y－＝0， 联立l1，l2的方程得P. (2)证明：设过点P的两条切线分别与抛物线切于点Q，点R，如图所示， ∴PQ方程：x1x＝2·，即x1x＝＋y， 同理PR方程：x2x＝＋y， ∴P，且A，B. 设△PAB外接圆方程为2＋(y－m)2＝2＋m2. ∵△PAB外接圆经过点P， ∴2＋2＝2＋m2， ∴＋－mx1x2＝0，∴m＝， ∴2＋2＝2＋2， 整理得x2－x＋y2－y＋＝0， ∴x2＋y2－－x＋(1－2y)＝0， 令解得 ∴△PAB的外接圆过定点. (3)由题意得CD方程：y＝， ∴C，D， ∴|CD|＝ ＝· ＝·. 又点P到直线CD的距离d＝， ∴S△PCD＝··. 设x1x2＝－t2，t>0，|x1－x2|＝n， 由(x1＋x2)2＝(x1－x2)2＋4x1x2＝n2－4t2≥0，得n≥2t，当且仅当x1＋x2＝0时，等号成立， ∴S△PCD＝··＝≥. 令f(t)＝ ... ...