2016年高考江苏卷数学试题解析

2016年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷） 数学Ⅰ 参考公式： 样本数据的方差，其中． 棱柱的体积，其中是棱柱的底面积，是高． 棱锥的体积，其中是棱锥的底面积，为高． 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上． 已知集合，，则 ． ； 由交集的定义可得． 复数，其中为虚数单位，则的实部是 ． 5； 由复数乘法可得，则则的实部是5． 在平面直角坐标系中，双曲线的焦距是 ． ； ，因此焦距为． 已知一组数据4.7，4.8，5.1，5.4，5.5，则该组数据的方差是 ． ； ，． 函数的定义域是 ． ； ，解得，因此定义域为． 如图是一个算法的流程图，则输出的值是 ． 9； 的变化如下表： 1 5 9 9 7 5 则输出时． 将一个质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有个点为正方体玩具）先后抛掷2次，则出现向上的点数之和小于10的概率是 ． ； 将先后两次点数记为，则共有个等可能基本事件，其中点数之和大于等于10有六种，则点数之和小于10共有30种，概率为． 已知是等差数列，是其前项和．若，，则的值是 ． ； 设公差为，则由题意可得，， 解得，，则． 定义在区间上的函数的图象与的图象的交点个数是 ． 7； 画出函数图象草图，共7个交点． 如图，在平面直角坐标系中，是椭圆的右焦点，直线与椭圆交于两点，且，则该椭圆的离心率是 ． ； 由题意得，直线与椭圆方程联立可得，， 由可得，，， 则，由可得，则． 设是定义在上且周期为2的函数，在区间上 其中，若，则的值是 ． ； 由题意得，， 由可得，则， 则． 已知实数满足 则的取值范围是 ． ； 在平面直角坐标系中画出可行域如下 为可行域内的点到原点距离的平方． 可以看出图中点距离原点最近，此时距离为原点到直线的距离， ，则， 图中点距离原点最远，点为与交点，则， 则． 如图，在中，是的中点，是上两个三等分点，，， 则的值是 ． ； 令，，则，，， 则，，，，，， 则，，， 由，可得，，因此， 因此． 在锐角三角形中，，则的最小值是 ． 8； 由，， 可得（*）， 由三角形为锐角三角形，则， 在（*）式两侧同时除以可得， 又(#)， 则， 由可得， 令，由为锐角可得， 由(#)得，解得 ， ，由则，因此最小值为， 当且仅当时取到等号，此时，， 解得（或互换），此时均为锐角． 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤． （本小题满分14分） 在中，，，． ⑴ 求的长； ⑵ 求的值． ⑴；⑵ ． ，为三角形的内角 ，即：； 又为三角形的内角 ． （本小题满分14分） 如图，在直三棱柱中，分别为的中点，点在侧棱上， 且，． 求证：⑴ 直线平面； ⑵ 平面平面． 见解析； 为中点，为的中位线 又为棱柱， ，又平面，且 平面； 为直棱柱，平面 ，又 且，平面 平面， 又，平面 又平面， 又，，且平面 平面，又 平面平面． （本小题满分14分） 现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部分的形状是正四棱锥，下部分的形状是正四棱柱（如图所示），并要求正四棱柱的高是正四棱锥的高的倍． ⑴ 若，，则仓库的容积是多少； ⑵ 若正四棱锥的侧棱长为，当为多少时，仓库的容积最大？ ⑴；⑵； ，则， ，， ， 故仓库的容积为； 设，仓库的容积为 则，，， ， ， ， ， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 因此，当时，取到最大值， 即时，仓库的容积最大． （本小题满分14分） 如图，在平面直角坐标系中，已知以为圆心的圆： 及其上一点． ⑴ 设圆与轴相切，与圆外切，且圆心在直线上，求圆的标准方程； ⑵ 设平行于的直线与圆相交于两点，且，求直线的方程； ⑶ 设点满足：存在圆上的两点和，使得，求实数的取值范围． ⑴⑵或⑶； 因为在直线上，设，因为与 ... ...