中小学教育资源及组卷应用平台 空间几何专题训练———距离、夹角 一、点到面距离求法 1．如图，在四棱锥中，平面，，，且. （1）求证：平面； （2）求点到平面的距离. 2．如图，四棱锥的底面ABCD是边长为2的正方形，，平面平面ABCD，平面平面ABCD，E为PD中点. （1）证明：； （2）若F为棱PB上的点，求点F到平面ACE的距离. 3．如图，在多面体 中， 是平行四边形， ， ， 两两垂直. （1）求证：平面 平面 ； （2）若 ，求点 到平面 的距离. 4．如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，，，，，为棱的中点. 条件①：； 条件②：平面平面. 从条件①和条件②这两个条件中选择一个作为已知，完成下列问题： （1）求证：； （2）若点在线段上，且点到平面的距离为，求线段的长. 注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分. 二、异面直线夹角求法 5．如图，直三棱柱 中，所有棱长均为1，点 为棱 上任意一点，则下列结论正确的是（ ） A．直线 与直线 所成角的范围是 B．在棱 上存在一点 ，使 平面 C．若 为棱 的中点，则平面 截三棱柱 所得截面面积为 D．若 为棱 上的动点，则三棱锥 体积的最大值为 6．如图，在侧棱垂直于底面的三棱柱 中， ， ， ，F分别是 ， 的中点，则异面直线 与 所成角的余弦值是 ． 7．在三棱柱 中， ， ．若 ， ，则异面直线 与 所成的角为 ． 8．如图，四棱锥 中，底面 为矩形， 底面 ， ， ， 分别为棱 的中点. （1）求证： 、 、 、 四点共面； （2）求异面直线 与 所成的角. 三、线面夹角求法 9．如图，在三棱锥 中，侧面 底面BCD， ， ， ， ，直线AC与底面BCD所成角的大小为 A． B． C． D． 10．如图，在四棱锥 中， ， ， ． ， 为等边三角形，点 是棱 上的一动点． （1）求证： ； （2）求直线 与平面 所成角的正弦值的最大值． 11．如图， 中， ， 是边长为 的 若 ， 分别是 ， 的中点． （1）求证： ； （2）求证： ； （3）求 和面 所成角的大小． 四、二面角求法 12．如图，在三棱锥中，侧面是正三角形，且垂直于底面，，， （1）求证： （2）记二面角的平面角为，求的值. 13．如图，边长为2的正方形 所在的平面与半圆弧 所在平面垂直， 是 上异于 ， 的点． （1）证明： ； （2）当三棱锥 体积最大时，求面 与面 所成二面角的正弦值． 14．如图所示的几何体由等高的 个圆柱和 个圆柱拼接而成，点 为弧 的中点，且 、 、 、 四点共面． （1）证明： 平面 ． （2）若直线 与平面 所成角为 ，求平面 与平面 所成锐二面角的余弦值． 15．如图，在四棱锥 的展开图中，点 分别对应点 ， ， ， ，已知 ， 均在线段 上，且 ， ，四边形 为等腰梯形， ， . （1）若 为线段 的中点，证明： 平面 . （2）求二面角 的余弦值. 16．如图，三棱锥 中，侧棱 底面 点在以 为直径的圆上. （1）若 ，且 为 的中点，证明： ； （2）若 求二面角 的大小. 17．现有两个全等的等腰直角三角板，直角边长为2，将它们的一直角边重合，若将其中一个三角板沿直角边折起形成三棱锥 ，如图所示，其中 ，点E，F，G分别是 的中点． （1）求证： 平面 ； （2）求二面角 的余弦值． 18．如图，矩形 中， ， ，点 是 上的动点．现将矩形 沿着对角线 折成二面角 ，使得 ． （Ⅰ）求证：当 时， ； （Ⅱ）试求 的长，使得二面角 的大小为 ． 19．如图，四棱锥 中，四边形 是等腰梯形， . （1）证明：平面 平面 ； （2）过 的平面交 于点 若平面 把四棱锥 分成体积相等的两部分，求平面 与平面 所成锐二面角的余弦值. 20．如图，在四棱锥 中， ， ， ，且 ， ， ． （1）若 为 的中点，证明： ； （2）求证： ； （3）若 为 的中点，求二面角 的平面角的大小． 答案解析部分 1．【答案】（1） 由于，， 所以故 ... ...
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