第9章 平面向量 本 章 复 习 一、 单项选择题 1 (2024南通期末)已知向量a＝(－2，4)，b＝(1，x).若a∥b，则|b|的值为( ) A. B. C. 2 D. 4 2 在△ABC中，D是边AB上靠近点A的三等分点，E是边BC的中点，则等于( ) A. －－ B. ＋ C. － D. ＋ 3 (2023湖州期末)已知单位向量a，b满足|a－2b|＝，则a在b上的投影向量是( ) A. a B. －a C. b D. －b 4 (2024绍兴期末)已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，(a－b)⊥(3a＋b)，则向量a与b夹角的余弦值是( ) A. － B. C. － D. 5 (2024扬州期末)如图，在△ABC中，D，E是边BC上的两个三等分点，AB＝12，AC＝9，∠BAC＝60°，则·的值为( ) A. 50 B. 80 C. 86 D. 110 6 (2024十堰期末)若向量a，b是一组基底，向量m＝xa＋yb(x，y∈R)，则称(x，y)为向量m在基底a，b下的坐标．如图，某人仿照赵爽弦图，用四个三角形和一个小的平行四边形拼成一个大平行四边形，其中E，F，G，H分别是DF，AG，BH，CE的中点．已知向量e1，e2分别是与向量，同向的单位向量，且向量在基底e1，e2下的坐标为(4，2)，则向量在基底e1，e2下的坐标是( ) A. (4，3) B. (3，4) C. (4，1) D. (2，4) 二、 多项选择题 7 若a，b是任意的非零向量，则下列命题中正确的是( ) A. 若a∥b，则a·b＝|a·b| B. 若(a－b)⊥(a＋b)，则|a|＝|b| C. 若|a－b|＝|a＋b|，则a⊥b D. 若|a＋b|＝|a|＋|b|，则存在实数λ，使得b＝λa 8 (2024邯郸期末)已知非零向量a，b，c，则下列命题中错误的是( ) A. 若a·a＝b·b，则a＝±b B. 若|a＋b|＝|a|＋|b|，则|a·b|＝|a||b| C. 若|a|＝2，b＝(1，1)，且a∥b，则a＝(，) D. 若a＝(3，4)，则与a垂直的单位向量的坐标为 三、 填空题 9 已知平面向量a与b的夹角为60°，a＝(2，0)，|b|＝1，则|a＋2b|＝_____． 10 已知非零向量a，b满足|b|＝4|a|，且a⊥(2a＋b)，则a与b的夹角是_____． 11 在边长为1的正方形ABCD中，E为线段CD的三等分点，且CE＝DE，＝λ＋μ，则λ＋μ＝_____；F为线段BE上的动点，G为AF的中点，则·的最小值为_____． 四、 解答题 12 (2024镇江期末)在平面直角坐标系xOy中，已知向量＝(1，－1)，＝(3，1)，＝(m，3)(其中m∈R)，D为坐标平面内的一点． (1) 若A，B，C三点共线，求实数m的值； (2) 若向量与的夹角为，求实数m的值； (3) 若四边形ABCD为矩形，求点D的坐标． 13 (2024宁波期末)如图，在△ABC中，D是AC的中点，E在边AB上，且＝2，BD与CE交于点F. (1) 用，表示，； (2) 若24·＝·，求的值． 本 章 复 习 1. B 因为a∥b，所以a＝λb，λ∈R，即(－2，4)＝(λ，xλ)，所以解得所以b＝(1，－2)，故|b|＝＝. 2. B 如图，由题意，得＝，＝＝(－)，所以＝＋＝＋(－)＝＋. 3. D 由已知，得|a－2b|2＝a2－4a·b＋4b2＝7，因为|a|＝|b|＝1，所以1－4a·b＋4＝7，即a·b＝－，所以a在b上的投影向量为·＝－b. 4. A 设向量a，b的夹角为θ，因为(a－b)⊥(3a＋b)，所以(a－b)·(3a＋b)＝0，即3a2－2a·b－b2＝0，即3－2a·b－4＝0，解得a·b＝－，故向量a与b夹角的余弦值为cos θ＝＝＝－. 5. B 在△ABC中，因为D，E是边BC上的两个三等分点，AB＝12，AC＝9，∠BAC＝60°，所以＝＋＝＋＝＋(－)＝＋，＝＋＝＋＝＋(－)＝＋，则·＝·(＋)＝||2＋·＋||2＝×144＋×12×9×＋×81＝32＋30＋18＝80. 6. B 由题意可得＝＋＝＋＝＋(＋)＝＋＋.由四边形EFGH是平行四边形，得＝－，则＝＋－＝＋－，可得＝＋.因为向量在基底e1，e2下的坐标为(4，2)，所以＝5e1，＝5e2.因为＝＋＝＋＋＝＋－＝＋＝3e1＋4e2，所以在基底e1，e2下的坐标是(3，4). 7. BCD 对于A，若a∥b，则a与b的夹角为0或π，所以a·b＝|a||b|cos 0＝|a||b|或 a·b＝|a||b|cos π＝－|a||b|，即|a·b|＝ ... ...
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