3.2.1单调性与最大(小)值 【教学目标】 1.借助函数图像，会用符号语言表达函数的单调性，理解增函数、减函数、单调区间、单调性概念； 2.会用定义法简单证明函数的单调性； 3.学会运用函数图象理解和研究函数的性质； 4.在探究抽象函数单调性的过程中感悟数学概念的抽象过程及符号表示的作用。 【教学重难点】 1.教学重点：解函数的单调性 2.教学难点:增（减）函数的定义、利用增（减）函数的定义判断函数单调性。 【教学过程】 一、引入 [问]:上述图像反映了相应函数有什么变化规律，随x的增大，y的值有什么变化 二、 新授（研究性质，给出定义） [问]：如何利用函数解析式描述“随着的增大，相应的随着增大？” [问]：你能类似地描述在区间上是减函数吗？ (利用信息技术展示，说明二次函数的单调性。) [思考]：函数，各有怎样的单调性 ？ 给出单调性的定义： 一般地，设函数的定义域为D，区间 I D 如果 I ,当< 时，都有 ,那么就称函数f(x)在区间I上单调递增。特别地，若函数f(x)在它的定义域上单调递增时，我们就称它为增函数. 如果 I ,当<时，都有 ,那么就称函数f(x)在区间I上单调递减。特别地，若函数f(x)在它的定义域上单调递增时，我们就称它为减函数. 三、证明（利用定义，证明性质） [例]根据定义证明函数是减函数. [总结方法]：用定义证明函数的单调性的步骤: 1.取数:任取D，且< ； 2.作差:； 3.变形:通常是因式分解和配方； 4.定号:判断差的正负； 5.结论:指出函数在给定的区间D上的单调性. [例] 根据定义，研究函数 的单调性。 [练]求证:函数=+ 在区间(0 ,1)内为减函数. 作差变形的常用技巧: (1)因式分解.当原函数是多项式函数时,作差后的变形通常进行因式分解. (2)通分.当原函数是分式函数时,作差后往往进行通分,然后对分子进行因式分解. (3)配方.当所得的差式是含有的二次三项式时,可以考虑配方,便于判断符号. (4)分子有理化.当原函数是根式函数时,作差后往往考虑分子有理化. [练]求证：数＝在(0，＋∞)上是减函数，在(－∞，0)上是增函数． 四、确定单调区间（利用图像，找单调区间） [例]:求下列函数的单调区间,并指出其在单调区间上是增函数还是减函数: (1); (2). [练]已知,函数,试画出的图象,并结合图象写出函数的单调区间. 一次、二次函数及反比例函数的单调性: (1)一次函数的单调性由系数决定：当时,该函数在R上是增函数；当时,该函数在R上是减函数. (2)二次函数的单调性以对称轴= - 为分界线. (3)反比例函数的单调性. 习题 已知函数在区间上是减函数,试比较与 的大小. 1．下列函数在区间上不是增函数的是( ) A． B． C． D． 2．函数＝的单调减区间是( ) A． B． C． D． 3．若函数在上的最大值与最小值的差为2，则实数a的值是( ) A．2 B．－2 C．2或－2 D．0 4．函数，x∈的值域为( ) A． B． C． D． 5．已知函数. (1)画出函数的图象； (2)根据图象求函数在区间上的最大值． 六、小结 1.单调区间、增函数、减函数的定义； 2.利用定义证明函数单调性的步骤； 七、作业 书本课后习题及《优化设计》相关练习 ... ...
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