第四章 第5练 利用导数研究不等式的证明问题 同步练习(含详解)2026届高中数学一轮复习

第5练　利用导数研究不等式的证明问题（原卷版） 1．(2025·湖北荆州模拟)已知函数f(x)＝ln x. (1)求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程； (2)求证：函数y＝f(x)的图象位于直线y＝x的下方． 2．(2025·山东烟台模拟)已知函数f(x)＝ln x＋ax2＋(a＋2)x＋a. (1)讨论f(x)的单调性； (2)证明：当a<0时，f(x)≤－－2＋a. 3．(2025·湖南临湘一中模拟)(1)证明：当x≥0时，ex≥x2＋x＋1； (2)已知函数f(x)＝ex2－xln x．求证：当x>0时，f(x)xln x－sinx；②f(x)>x(ln x－1)－cosx. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 6．已知函数f(x)＝axln x－x＋1，a∈R. (1)讨论f(x)的单调性； (2)当p>q>1时，证明：qln p＋ln q0时，f(x)>1恒成立，求a的取值范围； (2)求证：ln (n＋1)>＋＋＋…＋(n∈N*)． 8．(2025·湖北十一校联考)已知函数f(x)＝ln (mx)，m是大于0的常数．记曲线y＝f(x)在点(x1，f(x1))处的切线为l，l在x轴上的截距为x2，x2>0. (1)当x1＝，m＝1时，求切线l的方程； (2)证明：≥. 第5练　利用导数研究不等式的证明问题（解析版） 1．(2025·湖北荆州模拟)已知函数f(x)＝ln x. (1)求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程； (2)求证：函数y＝f(x)的图象位于直线y＝x的下方． 解：(1)f′(x)＝＋，则f′(1)＝1， 又f(1)＝0， 所以曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y＝x－1. (2)证明：因为x>0，所以>0， 要证f(x)0，所以h(x)在(0，4)上单调递增； 当x>4时，h′(x)<0，所以h(x)在(4，＋∞)上单调递减， 故h(x)在x＝4处取极大值也是最大值，故h(x)≤h(4)＝ln 4－2<0， 所以ln x－<0恒成立，即原不等式成立， 所以函数y＝f(x)的图象位于直线y＝x的下方． 2．(2025·山东烟台模拟)已知函数f(x)＝ln x＋ax2＋(a＋2)x＋a. (1)讨论f(x)的单调性； (2)证明：当a<0时，f(x)≤－－2＋a. 解：(1)∵f(x)＝ln x＋ax2＋(a＋2)x＋a，定义域为(0，＋∞)， 则f′(x)＝＋2ax＋a＋2＝＝(x>0)， ①当a≥0时，f′(x)>0，f(x)在(0，＋∞)上单调递增； ②当a<0时， 当x∈时，f′(x)>0，f(x)在上单调递增， 当x∈时，f′(x)<0，f(x)在上单调递减． 综上，当a≥0时，f(x)在(0，＋∞)上单调递增； 当a<0时，f(x)在上单调递增，在上单调递减． (2)证明：当a<0时，要证f(x)≤－－2＋a， 只需证f(x)max≤－－2＋a， 由(1)得，f(x)max＝f＝ln ＋－＋a＝ln －＋a－1， 即证ln ＋＋1≤0恒成立． 令t＝－，g(t)＝ln t－t＋1(t>0)，则g′(t)＝－1＝， 当t∈(0，1)时，g′(t)>0，g(t)单调递增， 当t∈(1，＋∞)时，g′(t)<0，g(t)单调递减， ∴g(t)的最大值为g(1)＝0，即g(t)≤0. ∴ln ＋＋1≤0恒成立，原命题得证． 3．(2025·湖南临湘一中模拟)(1)证明：当x≥0时，ex≥x2＋x＋1； (2)已知函数f(x)＝ex2－xln x．求证：当x>0时，f(x)0， 只需证ex－ln x0， 只需证ex－ex0， 令h(x) ... ...