第六章 第3练 平面向量的数量积及应用 同步练习(含详解)2026届高中数学一轮复习

第3练　平面向量的数量积及应用（原卷版） 一、单项选择题 1．已知向量a＝(－2，6)，b＝(1，x)，若a与b反向，则a·(3a＋b)＝(　　) A．－30 B．30 C．－100 D．100 2．(2024·全国甲卷)已知向量a＝(x＋1，x)，b＝(x，2)，则(　　) A．“x＝－3”是“a⊥b”的必要条件 B．“x＝－3”是“a∥b”的必要条件 C．“x＝0”是“a⊥b”的充分条件 D．“x＝－1＋”是“a∥b”的充分条件 3．(2025·甘肃张掖模拟)已知向量a，b满足|a|＝|b|＝1，且a⊥b，若(λa＋b)⊥(a＋μb)，则(　　) A．λ＋μ＝0 B．λ＋μ＝－1 C．λμ＝－1 D．λμ＝0 4．若|a|＝|a－b|＝1，且a与a－b的夹角为60°，则|a＋b|＝(　　) A. B. C．7 D．3 5．(2025·广东广州模拟)设x∈R，向量a＝(x，1)，b＝(1，－2)，且a⊥b，则cos〈a－b，a〉＝(　　) A. B. C. D. 6.长江流域内某地南北两岸平行，如图所示，已知游船在静水中的航行速度v1的大小|v1|＝10 km/h，水流的速度v2的大小|v2|＝4 km/h，设v1与v2所成的角为θ(0<θ<π)，若游船要从A航行到正北方向上位于北岸的码头B处，则cosθ＝(　　) A．－ B．－ C．－ D．－ 7.如图，在同一平面内沿平行四边形ABCD的两边AB，AD向外分别作正方形ABEF，ADMN，其中AB＝2，AD＝1，∠BAD＝，则·＝(　　) A．－2 B．2 C．0 D．－1 8．(2025·山东济南模拟)如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝2，AC＝1，D是靠近点B的三等分点，E是边BC上的动点，则·的取值范围为(　　) A. B. C. D. 二、多项选择题 9．(2025·辽宁沈阳模拟)已知向量a＝(1，3)，b＝(2，－4)，则(　　) A．a·b＝10 B．向量a与b的夹角为 C.＝ D．向量c＝(－6，2)与a垂直 10．(2025·江苏泰州模拟)定义：a，b两个向量的叉乘a×b的模|a×b|＝|a||b|sin〈a，b〉，则下列命题正确的是(　　) A．若平行四边形ABCD的面积为4，则|×|＝4 B．在正三角形ABC中，若＝|×|·(＋)，则＝ C．若|a×b|＝，a·b＝1，则|a＋2b|的最小值为12 D．若|a×b|＝1，|b×c|＝2，且b为单位向量，则|a×c|的值可能为2＋2 11．已知16个边长为2的小菱形的位置关系如图所示，且每个小菱形的最小内角为60°，图中的A，B，C，D四点均为菱形的顶点，则(　　) A.·＝－20 B.在上的投影向量为 C.＝＋ D.在上的投影向量的模为2 三、填空题 12．(2021·新高考Ⅱ卷)已知向量a＋b＋c＝0，|a|＝1，|b|＝|c|＝2，a·b＋b·c＋c·a＝_____． 13．(2025·山东潍坊联考)已知非零向量a，b满足|a|＝|b|，·a＝0，则a与b的夹角为_____． 14.(2025·山东青岛模拟)如图，函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0，0<φ<π)的部分图象如图所示，已知点A，D为f(x)的零点，点B，C为f(x)的极值点，·＝－||2，则函数f(x)的解析式为_____． 四、解答题 15．如图，在△OAB中，已知P为线段AB上的一点，＝x＋y. (1)若＝，求x，y的值； (2)若＝3，||＝4，||＝2，当与的夹角为60°时，求·的值． 16．在平面直角坐标系中，已知a＝(1，－2)，b＝(3，4)． (1)若(4a－b)⊥(a＋kb)，求实数k的值； (2)若c＝(2，t)，向量a－b与向量a－c的夹角为锐角，求实数t的取值范围． 第3练　平面向量的数量积及应用（解析版） 一、单项选择题 1．已知向量a＝(－2，6)，b＝(1，x)，若a与b反向，则a·(3a＋b)＝(　　) A．－30 B．30 C．－100 D．100 答案：D 解析：由已知，得a与b共线，则－2x＝1×6，解得x＝－3，所以b＝(1，－3)，所以3a＋b＝3(－2，6)＋(1，－3)＝(－5，15)，因此a·(3a＋b)＝(－2，6)·(－5，15)＝100.故选D. 2．(2024·全国甲卷)已知向量a＝(x＋1，x)，b＝(x，2)，则(　　) A．“x＝－3”是“a⊥b”的必要条件 B．“x＝－3”是“a∥b”的必要条件 C．“x＝0”是“a⊥b”的充分条件 D．“x＝－1＋”是“a∥b”的充分条件 答案：C 解 ... ...