第4练 复数（原卷版） 一、单项选择题 1．(2024·新课标Ⅱ卷)已知z＝－1－i，则|z|＝( ) A.0 B．1 C. D．2 2．(2024·全国甲卷)设z＝i，则z·＝( ) A．－i B．1 C．－1 D．2 3．已知＝i，则复数的虚部是( ) A．－1 B．－i C．1 D．i 4．已知复数z1，z2在复平面内对应的点分别为(1，－1)，(0，1)，则的共轭复数为( ) A．1＋i B．－1＋i C．－1－i D．1－i 5．(2024·四川遂宁三模)若复数z＝(其中a∈R，i为虚数单位)为纯虚数，则复数z－1在复平面内对应的点位于( ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 6．已知复数z＝cos6＋isin6，现有如下说法：①|z|＝1；②复数z的实部为正数；③复数z的虚部为正数．则正确说法的个数为( ) A．3 B．2 C．1 D．0 7．(2025·黑龙江大庆模拟)若复数z满足z＋2＝1＋2i，则复数z在复平面内对应的点位于( ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 8．复数z＝x＋yi(x，y∈R，i为虚数单位)在复平面内对应的点为Z(x，y)，则下列命题为真命题的是( ) A．若|z＋1|＝|z－1|，则点Z在圆上 B．若|z＋1|＋|z－1|＝2，则点Z在椭圆上 C．若|z＋1|－|z－1|＝2，则点Z在双曲线上 D．若|x＋1|＝|z－1|，则点Z在抛物线上 二、多项选择题 9．(2025·湖南长沙调研)已知复数z，z＋2i在复平面内对应的点分别为M，N，且点M，N均在以坐标原点O为圆心，2为半径的圆上，若点M在第四象限，则( ) A．点N在第一象限 B．|MN|＝2 C．OM⊥ON D．z2＋2＝ 10．(2025·山东济南模拟)已知z1，z2，z3是方程(z－i)(z2－2z＋4)＝0的三个互不相等的复数根，则( ) A．z1可能为纯虚数 B．z1，z2，z3的虚部之积为－3 C．|z1|＋|z2|＋|z3|＝6 D．z1，z2，z3的实部之和为2 11．任何一个复数z＝a＋bi(其中a，b∈R，i为虚数单位)都可以表示成z＝r(cosθ＋isinθ)的形式，通常称之为复数z的三角形式．法国数学家棣莫弗发现：zn＝[r(cosθ＋isinθ)]n＝rn(cosnθ＋isinnθ)(n∈N*)，我们称这个结论为棣莫弗定理．根据以上信息，下列说法正确的是( ) A．|z2|＝|z|2 B．当r＝1，θ＝时，z3＝1 C．当r＝1，θ＝时，＝－i D．当r＝1，θ＝时，若n为偶数，则复数zn为纯虚数 三、填空题 12．(2025·湖南长郡中学模拟)在复平面内，复数z对应的点为(1，1)，则＝_____． 13．在如图所示的平行四边形OABC中，顶点O，A，C分别表示0，3＋2i，－2＋4i，则向量所表示的复数为_____，向量所表示的复数为_____． 14．(2024·广东广州二模)已知复数z＝(θ∈R)的实部为0，则tan2θ＝_____． 四、解答题 15．复数z1＝＋(10－a2)i，z2＝＋(2a－5)i，若1＋z2是实数，求实数a的值． 第4练 复数（解析版） 一、单项选择题 1．(2024·新课标Ⅱ卷)已知z＝－1－i，则|z|＝( ) A.0 B．1 C. D．2 答案：C 解析：若z＝－1－i，则|z|＝＝.故选C. 2．(2024·全国甲卷)设z＝i，则z·＝( ) A．－i B．1 C．－1 D．2 答案：D 解析：依题意，得＝－i，故z·＝－2i2＝2.故选D. 3．已知＝i，则复数的虚部是( ) A．－1 B．－i C．1 D．i 答案：A 解析：设z＝a＋bi(a，b∈R)，由＝i，得2(a＋bi)－1＝i(1＋a－bi)，即2a－1＋2bi＝b＋(a＋1)i，所以解得所以z＝1＋i，从而＝1－i，所以复数的虚部是－1. 4．已知复数z1，z2在复平面内对应的点分别为(1，－1)，(0，1)，则的共轭复数为( ) A．1＋i B．－1＋i C．－1－i D．1－i 答案：B 解析：设z＝，因为复数z1，z2在复平面内对应的点分别为(1，－1)，(0，1)，所以z1＝1－i，z2＝i，z＝＝＝＝－1－i，故＝－1＋i.故选B. 5．(2024·四川遂宁三模)若复数z＝(其中a∈R，i为虚数单位)为纯虚数，则复数z－1在复平面内对应的点位于( ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 ... ...
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