湖南省岳阳市2023-2024学年高二下学期教学质量监测 数学试题（含详解）

湖南省岳阳市2023 2024学年高二下学期教学质量监测数学试题 一、单选题（本大题共8小题） 1．已知集合，，则集合的子集个数为（ ） A．2 B．4 C．8 D．16 2．设数列为等比数列，若，，则（ ） A． B． C． D． 3．已知平面向量，，则向量在向量上的投影向量为（ ） A． B． C． D． 4．已知，均为锐角，，，则的值为（ ） A． B． C． D． 5．已知椭圆的左右焦点分别为，，为椭圆上一点，且直线的一个方向向量为，则椭圆的离心率为（ ） A． B． C． D． 6．将甲、乙等6人安排到三个景点做环保宣传工作，每个景点安排2人，其中甲、乙不能安排去同一个景点，不同的安排方法数有（ ） A．84 B．90 C．72 D．78 7．设，，，则（ ） A． B． C． D． 8．已知函数，，若函数有8个零点，则正数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 二、多选题（本大题共3小题） 9．根据国家统计局统计，我国2018-2023年的出生人口数（单位：万人）分别为：1523，1465，1202，1062，956，902，将年份减去2017记为x，出生人口数记为y，得到以下数据： x 1 2 3 4 5 6 y（单位：万人） 1523 1465 1202 1062 956 902 已知，由最小二乘法求得关于的经验回归方程为，则（ ） A． B．这6年出生人口数的下四分位数为1465 C．样本相关系数 D．样本点的残差为55 10．已知菱形的边长为2，，E，F，G分别为AD、AB、BC的中点，将沿着对角线AC折起至，连结，得到三棱锥.设二面角的大小为，则下列说法正确的是（ ） A． B．当平面截三棱锥的截面为正方形时， C．三棱锥的体积最大值为1 D．当时，三棱锥的外接球的半径为 11．已知函数，对任意的实数x，y都有成立，，，则（ ） A．为偶函数 B． C． D．4为的一个周期 三、填空题（本大题共3小题） 12．已知为虚数单位，则的共轭复数为 . 13．在中，内角的对边分别为，若且，则面积的最大值为 . 14．抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于A、B两点，抛物线在A、B处的切线交于点，则的最小值为 . 四、解答题（本大题共5小题） 15．如图，在圆锥中，为圆的直径，为圆弧的两个三等分点，为的中点，； (1)求证：平面平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 16．某企业使用新技术生产某种产品，该产品在出厂前要经历生产和检测两道工序，生产工序的次品率为.检测工序包括智能自动检测和人工抽查检测，智能自动检测为合格品则进入流水线并由人工抽查检测. (1)从经过生产工序但未经检测工序的产品中随机抽取件进行检测，求这件产品中的次品数的分布列和数学期望； (2)若智能自动检测的准确率为，求一件产品进入人工抽查检测环节的概率. 17．已知函数，其中. (1)若，求在处的切线方程； (2)当时，设.求证：存在极小值点. 18．定义：对于一个无穷数列，如果存在常数，对于任意给定的正数，总存在正整数，使得对于任意大于的正整数，都有.则称常数为数列的极限，记作.根据上述定义，完成以下问题： (1)若，，判断数列和是否存在极限；如果存在，请写出它的极限（不需要证明）； (2)已知数列的前项和为，，数列是公差为的等差数列； ①求数列的通项公式； ②若.证明： 19．已知平面内两个定点，，满足直线与的斜率之积为的动点的轨迹为曲线，直线与曲线交于不同两点； (1)求曲线的轨迹方程； (2)若直线和的斜率之积为，求证：直线过定点； (3)若直线与直线分别交于，求证：. 参考答案 1．【答案】C 【分析】先求解出集合，然后求解出的子集个数. 【详解】因为，所以， 即， 所以， 所以的子集个数为8. 故选C. 2．【答案】D 【分析】根据条件得到，再利用等比数列的通项公式，即可求出结果. 【详解】因为数列为等比数列，设公比为， 因为，，所以，得到， 又，当时，，当时，， 故选D. 3．【答案】A 【分析】利用投影向量的定义求解 ... ...