2024-2025 学年黑龙江省哈尔滨市道外区高一（下）期中 数学试卷 一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下列说法正确的是( ) A.两个单位向量一定相等 B.若 与 不共线，则 与 都是非零向量 C.共线的单位向量必相等 D.两个相等向量的起点、方向、长度必须都相同 2.复数(4 + ) (1 + 5 )的虚部为( ) A. 4 B. 4 C. 4 D. 4 3.在△ 中，已知角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，若 ： ： = 4：7：9，则 =( ) A. 19 B. 8 C. 19 D. 1621 63 21 21 4.已知 (2,1)， (3,1)， (1,5)三点，则 等于( ) A. 15 B. 13 C. 2 D. 1 5.如图，测量河对岸的塔高 时，选取与塔底 在同一水平面内的两个观测点 与 ， 垂直于平面 . 现测得∠ = 15°，∠ = 120°， = 20 ，并在点 测得塔顶 的仰角为 45°，则塔高 =( ) A. 20 63 B. 10 3 C. 10 6 D. 20 3 6.在△ 中， 边上的中线为 ，点 满足 = 3 ，则 =( ) A. 3 + 5 B. 3 5 C. 5 3 8 8 8 8 8 8 D. 58 + 3 8 7.如图，高度为 的圆锥形玻璃容器中装了水，则下列四个容器中，水的体积最接近容器容积一半的是( ) A. B. C. D. 第 1页，共 6页 8.如果复数 满足| + 2 | + | 2 | = 4，则| + + 1|的最小值为( ) A. 1 B. 2 C. 2 D. 5 二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.已知向量 = ( , 3)， = (5,2)，则下列结论正确的是( ) A. / / = 15 6若 ，则 2 B.若 ⊥ ，则 = 5 C.若| | = 5，则 = 4 D.若 = 3，则 = 21 10.已知圆锥的顶点为 ， 为底面直径，△ 是面积为 1 的直角三角形，则( ) A. 1该圆锥的母线长为 2 B.该圆锥的体积为3 C.该圆锥的侧面积为 D.该圆锥的侧面展开图的圆心角为 2 11.已知△ 的内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，下列结论正确的是( ) A.若 > ，则 > B.若 2sin2 + 2sin2 = 2 ，则△ 是直角三角形 C.若 = ，则△ 是锐角三角形 D. + + > 1 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。 12.已知复数(2 )( + )是纯虚数( 为虚数单位)，则实数 的值为_____． 13.在△ 中，内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ， = 3 ，则 = _____． 14.六氟化硫，化学式为 6，在常压下是一种无色、无臭、无毒、不燃的稳定气体， 有良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛用途.六氟化硫分子结构为正八面体结构 (正八面体是每个面都是正三角形的八面体)，如图所示.若此正八面体的棱长为 4， 则它的内切球的表面积为_____． 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.(本小题 13 分) 设复数 1 = 2 ( ∈ )， 2 = 1 + ． (1)若 1 + 2是实数，求 1 ；2 (2)若 1 2是纯虚数，求 1的共轭复数． 16.(本小题 15 分) 已知 与 是平面内的两个向量，| | = 2，| | = 1， 与 的夹角为4． 第 2页，共 6页 (1)求 ； (2)求| + 2 |； (3)在平面直角坐标系下，若 = (1,0)，求 在 方向上的投影向量的坐标． 17.(本小题 15 分) 在△ 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，已知 2 + 2 2 = ． (1)求 ． (2)若 = 2 ，且三角形的面积为 8 3，求△ 的周长 ． 18.(本小题 17 分) 如图，在棱长为 2 的正方体 1 1 1 1中，截去三棱锥 1 ，求 (1)截去的三棱锥 1 的表面积； (2)剩余的几何体 1 1 1 1 的体积； (3)在剩余的几何体 1 1 1 1 中连接 1 1，求四棱锥 1 1 1 的体积． 19.(本小题 17 分) 在△ 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，向量 = ( , + )， = ( , )，且 ⊥ ． (1)若边 = 8， = 6，∠ 的平分线交 边于点 .求 的长； (2)若 为 边上任意一点， = 1 = 2 ， .求 2 + 的最小值． 第 3页，共 6页 参考答案 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8 ... ...
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