中小学教育资源及组卷应用平台 2025北师大版数学必修第二册 2.2 复数的乘法与除法 *2.3 复数乘法几何意义初探 A级必备知识基础练 1.[探究点一]下列各式的运算结果为纯虚数的是( ) A.i(1+i)2 B.i2(1-i) C.(1+i)2 D.i(1+i) 2.[探究点一·2024江苏镇江高三模拟]设z=,则z+=( ) A.2 B.1 C.-1 D.-2 3.[探究点一·2024云南大理高二检测]若(1+i)·(a+i)=-5+bi,其中a,b∈R,则b=( ) A.3 B.2 C.-2 D.-3 4.[探究点一]若复数(a∈R,i为虚数单位)是纯虚数,则实数a的值为( ) A.-6 B.-4 C.4 D.6 5.[探究点二](多选)若复数z=,则( ) A.z的共轭复数 B.|z|= C.复数z的实部与虚部相等 D.复数z在复平面内对应的点在第四象限 6.[探究点一]已知z是纯虚数,是实数,那么z= . 7.[探究点三]已知复数z,为z的共轭复数,解方程z-3i·=1+3i,可得z= . B级关键能力提升练 8.设复数z=i,其中i是虚数单位,是z的共轭复数,下列判断中错误的是( ) A.z =1 B.z2= C.z是方程x2-x+1=0的一个根 D.满足zn∈R的最小正整数n为3 9.(多选)若复数z满足(1+i)z=3+i(其中i是虚数单位),复数z的共轭复数为,则( ) A.|z|= B.z的实部是2 C.z的虚部是1 D.复数在复平面内对应的点在第一象限 10.若z=(a2-1)+(a-1)i为纯虚数,其中a∈R,则等于 . 11.已知复数z1满足(z1-2)i=1+i,复数z2的虚部为2,且z1z2为实数,则z1= ,z2= . 12.[2024江苏徐州高一检测]已知复数z=+1+i,i为虚数单位. (1)求|z|和; (2)若复数z是关于x的方程x2+mx+n=0的一个根,求实数m,n的值. C级学科素养创新练 13.设z是虚数,ω=z+是实数,且-1<ω<2. (1)求|z|的值及z的实部的取值范围; (2)设u=,求证:u为纯虚数; (3)在(2)的条件下,求ω-u2的最小值. 2.2 复数的乘法与除法 *2.3 复数乘法几何意义初探 1.C i(1+i)2=i·2i=-2,不是纯虚数,故A错误;i2(1-i)=-(1-i)=-1+i,不是纯虚数,故B错误;(1+i)2=2i,是纯虚数,故C正确;i(1+i)=-1+i,不是纯虚数,故D错误. 2.C 由题得,z==-i,则=-i,故z+=-1.故选C. 3.D ∵(1+i)(a+i)=a+i+ai+i2=(a-1)+(a+1)i=-5+bi,∴解得故选D. 4.A 由题意可知,为纯虚数,所以解得a=-6. 5.BD ∵z=,∴z=i,则,故A错误;|z|=,故B正确;复数z的实部为,虚部为-,故复数z的实部与虚部不相等,故C错误;复数z在复平面内对应的点为,-,在第四象限,故D正确.故选BD. 6.-2i 设z=bi(b∈R,b≠0),则i是实数,所以b+2=0,即b=-2,所以z=-2i. 7.-1或-1+3i 设z=a+bi(a,b∈R),则=a-bi, ∴z-3i·=(a+bi)(a-bi)-3i(a-bi)=a2+b2-3b-3ai=1+3i, ∴解得 ∴z=-1或z=-1+3i. 8.B ∵z=i,∴z2=i2=-i,i,z3=z2·z=-ii=-1. 对于A,z·=ii=1,故A正确; 对于B,z2=-,故B错误; 对于C,i2-i+1=-i-i+1=0,则z是方程x2-x+1=0的一个根,故C正确; 对于D,z=i,z2=-i,z3=-1,故D正确. 故选B. 9.ABD 由(1+i)z=3+i,得z==2-i,则|z|=,z的实部为2,虚部为-1,故A,B正确,C错误;复数=2+i,则在复平面内对应的点为(2,1),在第一象限,故D正确. 10.i 因为z=(a2-1)+(a-1)i为纯虚数,所以a2-1=0,且a-1≠0,解得a=-1,因此=i. 11.3-i 6+2i 由(z1-2)i=1+i,得z1-2==(1+i)(-i)=1-i,∴z1=3-i.设z2=x+2i(x∈R),则z1z2=(3-i)(x+2i)=3x+2+(6-x)i.又z1z2为实数,∴x=6,∴z2=6+2i. 12.解(1)∵复数z=+1+i=+1+i=1-2i+1+i=2-i, ∴|z|==2+i. (2)∵复数z是关于x的方程x2+mx+n=0的一个根, ∴(2-i)2+m(2-i)+n=0, ∴4-4i+i2+2m-mi+n=0,∴(3+2m+n)-(m+4)i=0, ∴解得 13.(1)解设z=a+bi(a,b∈R,b≠0),则ω=z+=a+bi+=a+bi+=a++b-i. ∵ω是实数,∴b-=0. 又b≠0,∴a2+b2=1,即|z|=1. 此时ω=2a. ∵-1<ω<2,∴-
