中小学教育资源及组卷应用平台 2025北师大版数学必修第二册 *§3 复数的三角表示 3.1 复数的三角表示式 3.2 复数乘除运算的几何意义 A级必备知识基础练 1.[探究点一]将复数1-i化成三角形式为( ) A.2cos+isin B.2cos+isin C.2cos+isin D.2cos+isin 2.[探究点四]把复数3-i对应的向量按顺时针方向旋转,所得向量对应的复数为( ) A.2 B.-2i C.-3i D.3+i 3.[探究点四]如果向量对应复数4i,绕原点O逆时针旋转45°后再把模变为原来的倍,得到向量,那么与对应的复数是 . 4.[探究点三、四]计算:(1)i10÷3i; (2)[2(cos 50°+isin 50°)]-4. 5.[探究点四]在复平面内,一个正方形的四个顶点按照逆时针方向依次为Z1,Z2,Z3,O(其中O为原点).已知点Z2对应的复数z2=1+i,求点Z1和Z3分别对应的复数z1,z3. B级关键能力提升练 6.设z1=1-2i,z2=1+i,z3=-1+3i,则arg z1+arg z2+arg z3=( ) A. B. C. D. 7.(多选)设z1,z2是复数,arg z1=α,arg z2=β,则arg(z1·z2)有可能是下列情况中的哪些( ) A.α+β B.α+β-2π C.2π-(α+β) D.π+α+β 8.设z=(-3+3i)n,n∈N+.当z∈R时,n的最小值为 . 9.若分别对应复数z1=1+2i,z2=7+i,求∠Z2OZ1,并判断△OZ1Z2的形状. C级学科素养创新练 10.[人教B版教材例题]如图,已知平面内并列的三个相等的正方形,利用复数证明α+β+γ=. *§3 复数的三角表示 3.1 复数的三角表示式 3.2 复数乘除运算的几何意义 1.C 由题得,|1-i|=2.又(1,-)在第四象限且tan θ=-,故arg(1-i)=,所以化成三角形式为2cos+isin. 2.B 由题得,3-i=2cos-+isin-.将复数对应的向量顺时针方向旋转,得z=2cos-+isin-÷cos+isin=2cos-+isin-=-2i. 3.-4+4i z1=4i·(cos 45°+isin 45°)=4[cos(90°+45°)+isin(90°+45°)]=-4+4i. 4.解(1)原式=cos-+isin-10÷3cos+isin=cos-+isin-÷3cos+isin=cos+isin÷3cos+isin=cos+isin=cos+isin=i. (2)原式=4 =4[cos(-50°)+isin(-50°)]4 =[cos(-200°)+isin(-200°)] =(cos 160°+isin 160°). 5.解根据题意画出草图,如图所示. 由复数运算的几何意义知,z1=·z2·cos-+isin-=(1+i)i=i, z3=·z2·cos+isin=(1+i)i=i. 6.C arg z1+arg z2+arg z3=arg(z1z2z3)+2kπ,k∈Z. ∵z1z2z3=(1-2i)(1+i)(-1+3i)=10i,∴arg(z1z2z3)=.又
