第8章 立体几何初步 一、选择题 1．在空间中，设m，n为两条不同的直线，α为一个平面，下列条件可判定m⊥n的是( ) A．m⊥α，n⊥α B．m∥α，n∥α C．m⊥α，n∥α D．m∥α，且n α 2．已知m，n是空间中两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，且m α，n β，则下列说法正确的是( ) A．若α∩β＝l且α⊥β，m α，m⊥l，则m⊥β B．若m∥n，则α∥β C．若α∩β＝l且m⊥l，n⊥l，则α⊥β D．若α∥β，则m∥n 3．已知PA垂直于以AB为直径的圆所在的平面，C为圆上异于A，B两点的任一点，则下列关系不正确的是( ) A．PA⊥BC B．BC⊥平面PAC C．AC⊥PB D．PC⊥BC 4．在空间四边形ABCD中，E，F分别是AB和BC上的点，若AE∶EB＝CF∶FB＝1∶2，则对角线AC和平面DEF的位置关系是( ) A．平行 B．相交 C．在平面内 D．不能确定 5.如图，在正四面体P－ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，则下面四个结论不成立的是( ) A．BC∥平面PDF B．DF⊥平面PAE C．平面PDF⊥平面PAE D．平面PDE⊥平面ABC 6．(多选题)(2023·山东青岛期末)如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB ＝1，AD⊥AB，∠BCD＝45°，将△ABD沿对角线BD折起．设折起后点A 的位置为A′，并且平面A′BD⊥平面BCD.给出下面四个命题，其中正确的是( ) A．A′D⊥BC B．三棱锥A′－BCD的体积为 C．BA′⊥CA′ D．平面A′BC⊥平面A′DC 7．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝AD＝2AB.若E，F分别为线段A1D1，CC1的中点，则直线EF与平面ADD1A1所成角的正弦值为( ) A. B． C． D． 8．(多选题)如图，透明塑料制成的长方体容器ABCD－A1B1C1D1内灌进一些水，固定容器底面一边BC于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下面四个命题： ①没有水的部分始终呈棱柱形； ②水面EFGH所在四边形的面积为定值； ③棱A1D1始终与水面所在平面平行； ④当容器倾斜如图所示时，BE·BF是定值． 其中正确的命题是( ) A．① B．② C．③ D．④ 二、填空题 9．已知直线l，a，b，平面α，若要得到结论l⊥α，则需要在条件a α，b α，l⊥a，l⊥b中另外添加的一个条件是___. 10.如图，已知∠BAC＝90°，PC⊥平面ABC，则在△ABC，△PAC的边所在的直线中，与PC垂直的直线有___条；与AP垂直的直线有___条． 11．已知三条不同的直线a，b，c和两个不同的平面α，β满足以下条件：①a⊥α，b⊥β；②α∩β＝m；③c⊥a，c⊥b，c α，c β，则c与m的位置关系是___.(填“相交”，“平行”或“异面”) 12．已知三棱锥S－ABC的所有顶点都在球O的球面上，SC是球O的直径．若平面SCA⊥平面SCB，SA＝AC，SB＝BC，三棱锥S－ABC的体积为9，则球O的表面积为___. 13.如图所示，等边三角形ABC的边长为4，D为BC的中点，沿AD把△ADC折叠到△ADC′处，使二面角B－AD－C′为60°，则折叠后二面角A－BC′－D的正切值为___. 三、解答题 14．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别是AB、AD的中点，E、F、P分别是B1C1、BB1、DD1的中点． (1)求证：MN∥平面BDD1B1； (2)求证：CA1⊥MN. 15．在平行四边形ABCD中AB＝6，BC＝4，过A点作CD的垂线交CD的延长线于点E，AE＝2.连接EB交AD于点F，如图1，将△ADE沿AD折起，使得点E到达点P的位置．如图2. (1)证明：直线AD⊥平面BFP； (2)若G为PB的中点，H为CD的中点，且平面ADP⊥平面ABCD，求点H到平面GBC的距离． 16．如图，在三棱锥P－ABC中，AB⊥BC，AB＝2，BC＝2，PB＝PC＝，BP，AP，BC的中点分别为D，E，O，点F在AC上，BF⊥AO. (1)求证：EF∥平面ADO； (2)若∠POF＝120°，求三棱锥P－ABC的体积． 17. 如图所示，四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面是菱形，侧棱垂直于底面，点E，F分别在棱AA1，CC1上，且满足AE＝AA1，CF＝CC1，平面BEF与平面ABC的交线为l. (1)证明：直线l⊥平面BDD1； (2)已知 ... ...
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