2024-2025 学年上海市松江一中高一下学期期中考试 数学试卷 一、单选题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下列函数中，最小正周期为π的奇函数是( ) A. = sin B. = sin2 C. = cos D. = cos2 2.“ 0 = π”是“函数 = tan 的一个对称中心是 0, 0 ”的( )条件 A.充分不必要 B.必要不充分 C.充分必要 D.既不充分也不必要 3 2 π.设 是正整数，集合 = | = cos , ∈ Z .当 = 2024 时，集合 元素的个数为( ) A. 1012 B. 1013 C. 2023 D. 2024 4.如图，在平面直角坐标系 中，已知 (1,0)、 (0,1)、 ( 1,1)、 ( 1,0)、 (0, 1)、 (1, 1).有一 封闭图形 ，其中图形第一、三象限的部分为两段半径为 1 的圆弧，二、四象限的部分为线段 、 、 、 .角 的顶点在原点，始边与 轴的正半轴重合， 的终边与该封闭图形 交于点 ，点 的纵坐 标 关于 的函数记为 = ( )，则有关函数 = ( )图象的说法正确的是( ) A. π关于直线 = 4成轴对称，关于坐标原点成中心对称 B.关于直线 = 3π4成轴对称，且以 2 为周期 C.以 2 为周期，但既没有对称轴，也没有对称中心 D.夹在 =± 1 之间，且关于点( , 0)成中心对称 二、填空题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。 5 π.若扇形的圆心角为3，半径为 4，则扇形的面积是 6 1 .已知 cos = 3，则 sin 2 + = ． 7.把 = 3sin + cos 化成 = sin( + )( > 0, | | < π2 )的形式，则 = ． 第 1页，共 7页 8.函数 = tan( 4 )的单调递增区间为 9.在 中， , , 是 的三边且满足 2 = 2 + 2 + ，则角 的大小为 ． 10.函数 = 2sin 1 0 ≤ ≤ 2π 的定义域为 ． 11.函数 ( ) = sin( + )的部分图象如图所示，其中 > 0， > 0，| | < π.则 ( )的解析式为 ． 12 π π.将函数 = 3cos 2 + 3 的图象向右平移 0 < < 2 个单位长度后，所得函数为奇函数，则 = ． 13 π π π.已知函数 = sin + 6 ( > 0)在区间 2 , 3 上是严格增函数，则 的取值范围是 ． 14.如图，长为 2，宽为 1 的矩形木块，在桌面上作无滑动翻滚，翻滚到第四次时被一小木块挡住，使木块 底与桌面成 30°角，则点 走过的路程是 ． 15.设函数 ( ) = sin 2π，若对于任意 ∈ 3 , π ，都存在 ∈ [0, ]，使得 ( ) + ( ) = 0，则 的最小值 为 ． tan , ∈ , ∪ 2 , 3 16 2 3 3 2.已知函数 ( ) = 6 3 2 若 ( )在区间 上的最大值存在，记该最大值为 ，则满 + 3 3, ∈ 3 , 3 足等式 {[0, )} = 3 {[ , 2 ]}的实数 的取值集合是 ． 三、解答题：本题共 5 小题，共 70 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.(本小题 14 分) 3 4 已知角 的顶点与原点 重合，始边与 轴的非负半轴重合，它的终边过点 ( 5 , 5 ). (Ⅰ)求 sin( + )的值； (Ⅱ) 5若角 满足 sin( + ) = 13，求 cos 的值． 18.(本小题 14 分) 在△ 中，内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且(2 )cos = cos ． (1)求角 的大小； (2)若 = 3， = 2 ，求△ 的面积． 第 2页，共 7页 19.(本小题 14 分) 一块长方形鱼塘 ， = 50 米， = 25 3米，为了便于游客休闲散步，该农庄决定在鱼塘内建 3 条 如图所示的观光走廊 ， ， ，考虑到整体规划，要求 是 的中点，点 在边 上，点 在边 上， 且∠ = 90°． (1)设∠ = ，试将 的周长 表示成 的函数关系式，并求出此函数的定义域； (2)经核算，三条走廊每米建设费用均为 4000 元，试问如何设计才能使建设总费用最低并求出最低总费用． 20.(本小题 14 分) 已知 ( ) = sin2 + 2 3sin cos cos2 ( > 0)的最小正周期为π． (1)化简函数 = ( )的表达式，并求出 的值； (2) ( ) < 2 ∈ 0, π若不等式 在 2 上有解，求实数 的取值范围； (3) π将函数 = ( )图像上所有的点向右平移 ( ∈ 0, 2 )个单位长度，得到函数 = ... ...
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