7．4.2　二项式系数的性质及应用 同步学案（含答案） 2024-2025学年高二数学苏教版（2019）选择性必修第二册

7．4.2　二项式系数的性质及应用 1. 掌握二项式系数的性质，能用二项式的性质解决问题． 2. 能应用二项式系数的性质解决有关二项式系数的最值问题． 活动一 复习巩固 1. 二项式定理及其特例： (1) (a＋b)n＝Can＋Can-1b＋…＋Can－rbr＋…＋Cbn(n∈N*)； (2) (1＋x)n＝1＋Cx＋…＋Cxr＋…＋Cxn. 2. 二项展开式的通项：Tr＋1＝Can－rbr. 3. 求常数项、有理项和系数最大的项时，要根据通项讨论对r的限制；求有理项时要注意到指数及项数的整数性． 活动二　探求二项式系数的性质　 探究： 1. 请写出当n依次取0，1，2，3，…时，(a＋b)n 展开式的二项式系数． 2. 观察二项式系数表与下面的杨辉三角，探究这两者之间有什么关系？ 3. 你能从中发现二项式系数有什么特点？ 二项式系数的性质： (a＋b)n展开式的二项式系数是C，C，C，…，C，…，C.C可以看成以r为自变量的函数f(r)，定义域是{0，1，2，…，n}，例如：当n＝6时，其图象是7个孤立的点(如图). (1) 对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等(C＝C)，直线r＝是图象的对称轴． (2) 二项式系数表中每行两端都是1，除1以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的和． (3) 增减性与最大值． 因为C＝＝C·，所以C相对于C的增减情况由决定．若>1，则k<，当k<时，二项式系数逐渐增大．由对称性知它的后半部分是逐渐减小的，且在中间取得最大值；当n是偶数时，中间一项的二项式系数最大；当n是奇数时，中间两项的二项式系数，相等且最大． (4) 二项式系数之和． 因为(1＋x)n＝1＋Cx＋…＋Cxr＋…＋Cxn，所以令x＝1，则2n＝C＋C＋C＋…＋C＋…＋C. 活动三　二项式系数性质的应用———赋值法　 例1　证明：在(a＋b)n的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和． 例2　已知(1－2x)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7，求： (1) a1＋a2＋…＋a7； (2) a1＋a3＋a5＋a7； (3) |a0|＋|a1|＋…＋|a7|. 活动四　求二项展开式中的有关系数或二项式系数的最大项与最小项　 例3　已知(＋x2)2n的展开式的二项式系数的和比(3x－1)n的展开式的二项式系数的和大992，求(2x－)2n的展开式中： (1) 二项式系数最大的项； (2) 系数的绝对值最大的项． 活动五　整除性问题　 例4　用二项式定理证明：9910－1能被1 000整除． 例5　求证：32n+2－8n－9是64的倍数(n∈N*). 1. (2024北京顺义月考)在(2x＋1)6的二项展开式中，二项式系数最大的项是(　　) A. 第7项 B. 第3和第4项 C. 第4项 D. 第3项 2. (2023龙岩期末)设a∈N，且a<17，若522 022＋a能被17整除，则a等于(　　) A. 0 B. 1 C. 13 D. 16 3. (多选)(2024茂名期中)关于(2x－1)5的展开式，下列说法中正确的是(　　) A. 二项式系数最大的项为第3项和第4项 B. 所有项的系数之和为1 C. 常数项为－1 D. 所有项的二项式系数之和为64 4. 设(x＋2m)5＋(x－1)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5.若a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝243，则m＝_____． 5. 已知(x－2)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7. (1) 求a1＋a2＋…＋a7的值； (2) 求a1＋a3＋a5＋a7的值． 7．4.2　二项式系数的性质及应用 【活动方案】 1. 当n＝0时，展开式的二项式系数为1； 当n＝1时，展开式的二项式系数为C＝1，C＝1； 当n＝2时，展开式的二项式系数为C＝1，C＝2，C＝1； 当n＝3时，展开式的二项式系数为C＝1，C＝3，C＝3，C＝1； …… 2. 二项式系数表的值与杨辉三角的值对应相等． 3. ①每一行中的二项式系数是“对称”的；②每行两端都是1，而且除1以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的和；③每行的二项式系数从两端向中间逐渐增大；④第1行为1，第2行的两数之和为2，第3行的三数之和为22，…，第n行的各数之和为2n-1. 例1　(a＋b)n＝Can＋Can-1b＋…＋Can－rbr＋…＋Cbn(n ... ...