7．3.1　离散型随机变量的均值 同步学案（含答案） 2024~2025学年高二数学人教A版（2019）选择性必修3

7．3.1　离散型随机变量的均值 1. 通过实例理解离散型随机变量的均值的概念，能计算简单离散型随机变量的均值． 2. 理解离散型随机变量均值的性质． 3. 会利用离散型随机变量的均值，反映离散型随机变量的取值水平，解决一些相关的实际问题． 活动一 背景引入 　　复习巩固： (1) 离散型随机变量及其分布列的概念： (2) 离散型分布列的两个性质： 问题1：甲、乙两名射箭运动员射中目标箭靶的环数的分布列如下表所示： 环数X 7 8 9 10 甲射中的概率 0.1 0.2 0.3 0.4 乙射中的概率 0.15 0.25 0.4 0.2 如何比较他们射箭水平的高低呢？ 问题2：甲、乙两个工人生产同一种产品，在相同条件下，他们生产100件产品中的不合格品数分别用X1，X2表示，X1，X2的分布列如下表所示： X1 0 1 2 3 P 0.7 0.1 0.1 0.1 X2 0 1 2 3 P 0.5 0.3 0.2 0 如何比较甲、乙两个工人的技术？ 活动二　离散型随机变量的均值　 离散型随机变量的均值：一般地，若离散型随机变量X的分布列如下表所示， X x1 x2 … xn P p1 p2 … pn 则称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn＝pi为随机变量X的均值或数学期望，数学期望简称期望． 说明：上述定义给出了求离散型随机变量均值的方法，高中阶段只研究有限个随机变量的均值的情况． 练习1　(1) 设随机变量X的分布列如下表所示， X 1 2 3 4 5 P 　　求E(X)； (2) 从甲、乙两位射击运动员中选择一位参加比赛，现统计了这两位运动员在训练中命中环数X，Y的分布列如下表所示，问：哪名运动员的平均成绩较好？ X 8 9 10 P 0.3 0.1 0.6 　 Y 8 9 10 P 0.2 0.5 0.3 思考 (1) X与E(X)有何区别？ (2) 随机变量的期望和相应数值的算术平均数有什么区别？ 活动三　求离散型随机变量的均值　 例1　抛掷一枚质地均匀的骰子，设出现的点数为X，求X的均值． 例2　猜歌名游戏是根据歌曲的主旋律制成的铃声来猜歌名. 某嘉宾参加猜歌名节目，猜对每首歌曲的歌名相互独立，猜对三首歌曲A，B，C歌名的概率及猜对时获得相应的公益基金如下表所示． 歌曲 A B C 猜对的概率 0.8 0.6 0.4 获得的公益基金额/元 1 000 2 000 3 000 规则如下：按照A，B，C的顺序猜，只有猜对当前歌曲的歌名才有资格猜下一首. 求嘉宾获得的公益基金总额X的分布列及均值． 例3　在篮球比赛中，罚球命中1次得1分，不中得0分．如果某运动员罚球命中的概率为0.8，那么他罚球1次得分X的均值是多少？ 1. 求离散型随机变量X的期望的基本步骤： (1) 理解X的意义，写出X可能取的全部值； (2) 求X取各个值的概率，写出分布列； (3) 根据分布列，由期望的定义求出E(X) . 2. 一般地，如果随机变量X服从两点分布，那么E(X)＝0×(1－p)＋1×p＝p. 活动四　随机变量均值的性质　 例4　(1) 已知x1，x2，…，xn的平均数为5，则ax1，ax2，…，axn的平均数为_____，ax1＋b，ax2＋b，…，axn＋b的平均数为_____； (2) 已知E(X)＝1，则E(2X＋6)＝_____． 练习2　已知随机变量X的分布列为 X －1 0 1 P 且设Y＝2X＋3，则E(Y)＝_____． E(aX＋b)＝ aE(X)＋b. 1. (2024上海期末)设0