勾股定理期末复习(二) 01 知识结构图 02 重难点突破 重难点1 勾股定理的证明 【例1】 勾股定理神秘而美妙，它的证法多种多样，其巧妙各有不同.其中“面积法”给了小聪以灵感.他惊喜地发现，当两个全等的直角三角形按图1或图 2 的方式摆放时，都可以用“面积法”来证明勾股定理，下面是小聪利用图1证明勾股定理的过程： 将两个全等的直角三角形按图1所示的方式摆放,其中∠DAB=90°.求证:( 证明:连接 DB,过点 D 作 BC 边上的高DF,垂足为F,则 DF=EC=b--a. 又 请参照上述证法，利用图2完成下面的证明. 将两个全等的直角三角形按图2所示的方式摆放,其中∠DAB=90°.求证:( 【解答】 方 法 指导 勾股定理的证明是用面积法证明恒等式，通过不同的方式表 示同一个图形的面积. 变式训练 1.课堂上，数学老师要求学生设计图形来证明勾股定理，同学们经过讨论，给出了四种图形，你认为能用来证明勾股定理的图形有 .(填序号) 重难点2 勾股定理及其逆定理 【例2】 如图，每个小正方形的边长都为1. (1)求四边形 ABCD 的周长. (2)求证:∠BCD=90°. 【思路点拨】 (1)利用勾股定理求出四边形的各边长；(2)求出△BCD的三边长，利用勾股定理的逆定理证明.【解答】 方 法 指导 正方形网格中的两个格点之间的距离可以用勾股定理求出.勾股定理的逆定理是证明一个角等于90°的一种思路.本题的第(2)问还可以通过两个三角形全等来证明. 变式训练 2.如图，在正方形纸片 ABCD 上有一点 P，PA=1,PD=2,PC=3.现将△PCD剪下,并将它拼到如图所示的位置(C与A 重合，P与G 重合,D与D 重合).求: (1)线段 PG的长. (2)∠APD的度数. 重难点3 勾股定理在实际生活中的应用 【例3】 如图，高速公路的一侧有A，B两个村庄，它们到高速公路所在直线 MN 的距离分别为 现要在高速公路上 A B 之间设一个出口 P，使A，B两个村庄到 P 的距离之和最短，则这个最短距离是多少千米 【思路点拨】 运用“两点之间，线段最短”先确定出点 P在A B 上的位置，再利用勾股定理求出AP+BP的长. 【解答】 方 法 指导 解这类题的关键在于运用几何知识正确找到符合条件的点的位置，会构造直角三角形，利用勾股定理把三角形中有一个直角的“形”的特征，转化为三边“数”的关系，因此它是数形结合的一个典范. 变式训练 3.在甲村至乙村的公路旁有一块山地正在开发，现有一C处需要爆破，已知点 C 与公路上的停靠站A 的距离为300 米，与公路上另一停靠站 B 的距离为 400 米,且 CA⊥CB,如图.为了安全起见，爆破点 C 周围半径250 米范围内不得进入，问在进行爆破时，公路AB段是否有危险 是否需要暂时封锁 请通过计算进行说明. 思想方法 方程思想 【例4】 如图，在Rt△ABC 中, ∠B = 90°,AB=3,BC=4,将△ABC 折叠，使点 B 恰好落在边 AC上,与点 B'重合,AE 为折痕,则EB'的长为 . 方法 指导 方程思想常在勾股定理与折叠问题中出现，利用折叠的性质得到边、角相等，进而把条件转化到一个直角三角形中，利用勾股定理构建方程，从而求出线段长度. 变式训练 4.如图,在长方形 ABCD 中,BC=6,CD=3,将△BCD沿对角线 BD 翻折，点C 落在点C'处,BC'交AD 于点E,则线段 DE 的长为 . 03 复习自测 一、选择题(每小题5分，共40分) 1.在 Rt△ABC中,∠C=90°,AB=8,AC=5,则BC 的长是 ( ) A.3 C.7 D. 2.小新将一根铁丝剪成九段，分成三组：①2 cm,3 cm,4 cm;②3 cm,4 cm,5 cm;③9 cm,40 cm,41 cm.分别以每组铁丝围成三角形，能构成直角三角形的有 ( ) A.② B.①② C.①③ D.②③ 3.下列各命题的逆命题成立的是 ( ) A.全等三角形的对应角相等 B.如果两个数相等，那么它们的绝对值相等 C.两直线平行，同位角相等 D.如果两个角都是45°，那么这两个角相等 4.如图所示的是办公桌摆件示意图，四边形ABCD 是矩形,若对角线 AC⊥EO,垂足是 ... ...
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