1.2.1　几个基本函数的导数--2025湘教版数学选择性必修第二册同步练习题（含解析）

中小学教育资源及组卷应用平台 2025湘教版数学选择性必修第二册 第1章1.2　导数的运算 1.2.1　几个基本函数的导数 A级 必备知识基础练 1.一质点的运动方程为s=cos t,则t=1时质点的瞬时速度为(　　) A.2cos 1 B.-sin 1 C.sin 1 D.cos 1 2.设函数f(x)的导数为f'(x),且f(x)=x2+2xf'(1),则f'(1)=(　　) A.0 B.4 C.-2 D.2 3.若f(x)=x5,f'(x0)=20,则x0的值为(　　) A. B.± C.-2 D.±2 4.已知函数f(x)=sin x,f'(x)是函数f(x)的导函数,则f'=(　　) A.0 B.-1 C.1 D. 5.[2024河北保定高三月考]已知函数f(x)在R上可导,且f(2x+3)=4x2-1,则f'(1)=　　　　　. 6.已知函数f(x)=若f'(a)=12,则实数a的值为　　　　　. 7.[人教B版教材例题]已知f(x)=,求f'(4)以及曲线y=f(x)在点(4,f(4))处的切线的方程. B级 关键能力提升练 8.若函数y=f(x)的图象上存在两点,使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直,则称y=f(x)具有T性质.下列函数中具有T性质的是(　　) A.y=sin x B.y=ln x C.y=ex D.y=x3 9.(多选题)已知函数f(x)的导数为f'(x),若存在x0,使得f(x0)=f'(x0),则称x0是f(x)的一个“巧值点”.下列函数中有“巧值点”的是(　　) A.f(x)=x2 B.f(x)= C.f(x)=ln x D.f(x)=tan x 10.设曲线y=ex在点(0,1)处的切线与曲线y=(x>0)在点P处的切线垂直,则点P的坐标为　　　　　. 11.直线y=x+b是曲线y=ln x(x>0)的一条切线,则实数b=　　　　　. 12.不与x轴重合的直线l与曲线y=x3与y=x2均相切,则l的斜率为　　　　　. 13.已知点P(-1,1),点Q(2,4)是曲线y=x2上的两点,求: (1)与直线PQ平行且与曲线y=x2相切的直线方程. (2)曲线y=x2上是否存在与直线PQ垂直的切线 若存在,求出切线方程;若不存在,说明理由. C级 学科素养创新练 14.已知直线y=kx是曲线y=ln x的一条切线,试求k的值. 15.已知直线x-2y-4=0与抛物线y2=x相交于A,B两点,O是坐标原点,试在x轴上方抛物线弧OA上求一点P,使△ABP的面积最大. 1.2.1　几个基本函数的导数 1.B　s'=-sin t,当t=1时,s'=-sin 1,所以当t=1时质点的瞬时速度为-sin 1. 2.C　由f(x)=x2+2xf'(1) f'(x)=2x+2f'(1),令x=1得f'(1)=2×1+2f'(1),解得f'(1)=-2.故选C. 3.B　函数的导数f'(x)=5x4,∵f'(x0)=20,∴5=20,得=4,因此x0=±.故选B. 4.A　因为f'(x)=cos x,所以f'=cos=0.故选A. 5.-4　令t=2x+3,则x=,则f(t)=t2-6t+8,即f(x)=x2-6x+8,f'(x)=2x-6,所以f'(1)=-4. 6.或-2　f'(x)=若f'(a)=12,则解得a=或a=-2. 7.解因为f'(x)=, 所以f'(4)=×2=3. 又因为f(4)==(22=23=8,所以所求切线方程为y-8=3(x-4),即y=3x-4. 8.A　对函数y=sin x求导,得y'=cos x,当x=0时,该点处切线l1的斜率k1=1,当x=π时,该点处切线l2的斜率k2=-1,∵k1·k2=-1,∴l1⊥l2;对函数y=ln x求导,得y'=恒大于0,斜率之积不可能为-1;对函数y=ex求导,得y'=ex恒大于0,斜率之积不可能为-1;对函数y=x3求导,得y'=3x2恒大于等于0,斜率之积不可能为-1.故选A. 9. ABC　对于A,f'(x)=2x,令x2=2x,得x=0或x=2,有“巧值点”;对于B,f'(x)=-,令=-,得x=-1,有“巧值点”;对于C,f'(x)=,令ln x=,结合y=ln x,y=的图象,知方程ln x=有解,有“巧值点”;对于D,f'(x)=,令tan x=,即,得sin 2x=2,无解,无“巧值点”.故选ABC. 10.(1,1)　y=ex的导数为y'=ex,曲线y=ex在点(0,1)处的切线的斜率为k1=e0=1. 设P(m,n),y=(x>0)的导数为y'=-(x>0), 曲线y=(x>0)在点P处的切线的斜率为k2=-(m>0).因为两切线垂直,所以k1k2=-1,所以m=1,n=1,则点P的坐标为(1,1). 11.ln 2-1　设切点坐标为(x0,y0),则y0=ln x0. 因为y'=(ln x)'=,由题意知,所以x0=2,y0=ln 2.由ln 2=×2+b,得b=ln 2-1. 12.　设直线l与曲线y=f(x)=x3相切的切点坐标为(x0,),f'(x)=3x2,则f'(x0)=3,则切线方程为y=3x-2.因为不与x轴重合的直线l与曲线y=x3与y=x2均相切,联立得x2-3x+2=0.其 ... ...