中小学教育资源及组卷应用平台 2025湘教版数学选择性必修第二册 第2章第2课时 向量的数量积 A级 必备知识基础练 1.在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,设=a,=b,=c,则a·(b+c)的值为( ) A.1 B.0 C.-1 D.-2 2.已知向量a,b满足|a|=|b|,a·b=0,则tan
=( ) A.- B. C.- D. 3.如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,AA1=AD=AB=2,∠BAD=,∠BAA1=∠A1AD=,则=( ) A.12 B.8 C.6 D.4 (第3题图) 4.如图所示,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,AB=AD=AA1=1,∠BAD=60°,∠DAA1=∠BAA1=90°,则||=( ) (第4题图) A.2 B. C. D.1 5.如图所示,平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,AB=AD=AA1=1,∠BAD=∠BAA1=120°,若线段AC1=,则∠DAA1=( ) A.30° B.45° C.60° D.90° (第5题图) 6.(多选题)正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,体对角线AC1与BD1相交于点O,则( ) A.=1 B. C. D.=1 7.在正四面体ABCD中,|AB|=2,若=2,则= . 8. [人教B版教材例题]如图所示的长方体ABCD-A'B'C'D'中,E是AA'的中点,AA'=AD=2,AB=4,求: (1);(2). B级 关键能力提升练 9.设A,B,C,D是空间不共面的四点,且满足=0,=0,=0,M为BC中点,则△AMD是( ) A.钝角三角形 B.锐角三角形 C.直角三角形 D.不确定 10.(多选题)已知空间四边形ABCD的四条边和对角线长都为a,且E,F,G分别是AB,AD,DC的中点,则下列四个数量积中结果为-a2的式子有( ) A.2 B.2 C.2 D.2 11. 如图,四面体ABCD中,M,N分别为AB和CD的中点,AD=2,BC=4,且向量与向量的夹角为120°,则线段MN长为( ) A. B. C. D.3或3 12.我国古代数学名著《九章算术》中记载:斜解立方,得两堑堵.堑堵是底面为直角三角形的直三棱柱.在堑堵ABC-A1B1C1中,AB=AC=AA1=2,P为B1C1的中点,则=( ) A.6 B.-6 C.2 D.-2 13.已知空间向量a,b满足|a|=3,|b|=2,且a⊥(a+b),则b在a方向上的投影为 . 14.如图,四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱,AB是一条侧棱,Pi(i=1,2,3,…,8)是上底面上其余的八个点,则集合{y|y=,i=1,2,3,…,8}中的元素个数为 . C级 学科素养创新练 15. 已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,E为棱B1C1上的动点,则向量在向量方向上的投影||cos∠EAC的取值范围是 . 16. 如图所示,正四面体V-ABC的高VD的中点为O,VC的中点为M. (1)求证:AO,BO,CO两两垂直; (2)求<>. 第2课时 向量的数量积 1.B 由题意可得AB⊥AD,AB⊥AA1,所以a⊥b,a⊥c,所以a·b=0,a·c=0,所以a·(b+c)=a·b+a·c=0,故选B. 2.D 由题可知,|2a-b|=|a|,所以cos=,则为锐角,得sin=,则tan=.故选D. 3.B =()·()==0+2×2×+2×2×+22=8.故选B. 4.A 由题意,,两边平方可得+2+2+2=3+2||||cos∠BAD+2||||·cos∠BAA1+2||||cos∠DAA1=4,所以||=2. 故选A. 5.C ∵, ∴+2+2+2=1+1+1+2×1×1×(-)+2×1×1×(-)+2×1×1×cos∠DAA1=2,∴cos∠DAA1=,即∠DAA1=60°.故选C. 6.AC (方法一)·()==1,故A正确; ·()==1,故B错误; ,故C正确; ·()=-=-1,故D错误. (方法二)=||||·cos<>=1×=1,故A正确; 由正方体的性质可知,AC1=,BC1==||||cos<>=||||·=1×=1,故B错误; ,故C正确; =1××-=-1,故D错误.故选AC. 7.6 =(2)·=2=2×2×2cos+2×2cos=6. 8.解(1)因为是长方体,而且AA'=AD=2,所以<>=∠B'BC'=45°,||=AA'=1,||=BC'==2. 因此=||||cos<>=2×1×=2. (2)由题图可以看出,上的投影是,而且||=AA'=1,又方向相反,所以等于的长的相反数,即=-||=-2. 9. C 如图所示,根据条件可得)·)=0,∴, ∴△AMD为直角三角形.故选C. 10.AC 如图所示,2=2||||cos 120°=2a·acos 120°=-a2; 2=2||||cos 60°=2a·acos 60°=a2; 2=2||||cos 180°=2··acos 180°=-a2; 2=2||||cos 120°=2··acos 120°=-.故结果为-a2的式子有AC. 11.A 取AC的中点E, ... ... 
