中小学教育资源及组卷应用平台 2025湘教版数学选择性必修第二册 第2章2.3.2 空间向量运算的坐标表示 A级 必备知识基础练 1.已知向量m=(1,2,λ),n=(2,2,1),p=(2,1,1),满足条件(p-m)⊥n,则λ的值为( ) A.1 B.-1 C.2 D.-2 2.若向量a=(2,0,-1),向量b=(0,1,-2),则2a-b=( ) A.(-4,1,0) B.(-4,1,-4) C.(4,-1,0) D.(4,-1,-4) 3.若向量a=(1,λ,2),b=(2,-1,2),且a与b的夹角的余弦值为,则λ=( ) A.2 B.-2 C.-2或 D.2或- 4.(多选题)在四面体P-ABC中,P(0,0,3),A(2,2,5),B(1,3,2),C(3,1,2),则以下选项正确的有( ) A.=(-1,1,-3) B.||=|| C. D.=11 5.(多选题)已知向量a=(x,1,2),b=(1,y,-2),c=(3,1,z),向量a与b平行,向量c与b垂直,则( ) A.x=y=-1 B.z=1 C.a+c的模为5 D.向量a与b的夹角为180° 6.若向量a=(1,1,x),b=(1,2,1),c=(1,1,1)满足条件(c-a)·2b=-2,则x= . 7.已知空间向量a=(2,4,-2),b=(-1,0,2),c=(x,2,-1). (1)若a∥c,求|c|; (2)若b⊥c,求cos
的值. B级 关键能力提升练 8.已知向量a=(-1,2,1),b=(1,1,-1),则下列说法不正确的是( ) A.a⊥b B.|a|>|b| C.cos= D.|a+b|=|a-b| 9.(多选题)已知空间向量a=(1,1,1),b=(-1,0,2),则下列正确的是( ) A.a+b=(0,1,3) B.|a|= C.a·b=2 D.= 10.[2024山东烟台高二月考]在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点P在线段BD1上,且=λ(0<λ<1).当∠APC为锐角时,实数λ的取值范围为( ) A.0, B.,1 C.0, D.,1 11.已知2a+b=(0,-5,10),c=(1,-2,-2),a·c=4,|b|=12,则= . 12.如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,E,F分别是棱B1C1,DD1上的点,如果BE⊥平面A1B1F,则C1E与D1F长度之和为 . 13.若a=(2,3,-1),b=(-2,1,3),则以a,b为邻边的平行四边形的面积是 . 14.在空间直角坐标系A-xyz中,E(0,0,1),B(1,0,0),F(0,2,2),C(a,2,0). (1)求向量在向量上的投影. (2)是否存在实数a,使得点E,F,C,B共面 若存在,求出a的值;若不存在,说明理由. 学科素养创新练 15. 在通用技术课上,老师给同学们提供了一个如图所示的木质正四棱锥模型P-ABCD,并要求同学们将该四棱锥切割成三个小四棱锥.某小组经讨论后给出如下方案:第一步,过点A作一个平面分别交PB,PC,PD于点E,F,G,得到四棱锥P-AEFG;第二步,将剩下的几何体沿平面ACF切开,得到另外两个小四棱锥.在实施第一步的过程中,为方便切割,需先在模型表面画出截面四边形AEFG,若,则的值为 . 16.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M是AA1的中点,问当点N位于线段AB何处时,MN⊥MC1 2.3.2 空间向量运算的坐标表示 1.A 因为p-m=(1,-1,1-λ),所以(p-m)·n=1×2+(-1)×2+(1-λ)×1=0,解得λ=1.故选A. 2.C 因为向量a=(2,0,-1),向量b=(0,1,-2), 所以2a-b=2(2,0,-1)-(0,1,-2)=(4,-1,0).故选C. 3.C 因为a=(1,λ,2),b=(2,-1,2), 所以a·b=6-λ,|a|=,|b|==3, 由题知,3=6-λ,即55λ2+108λ-4=0,解得λ=-2或λ=.故选C. 4.AB 因为=(-1,1,-3),所以选项A正确; 因为=(-1,1,-3),=(1,-1,-3), 所以有||=,||=,因此选项B正确; 因为=(2,2,2),=(1,-1,-3),所以有=2-2-6=-6≠0,因此选项C不正确; 因为=(-1,1,-3),=(1,-1,-3),所以=-1-1+9=7,因此选项D不正确.故选AB. 5.ABD 因为向量a=(x,1,2),b=(1,y,-2),c=(3,1,z),向量a与b平行,向量c与b垂直,所以b·c=0,a=λb,即解得故A,B选项正确; a+c=(2,2,3),|a+c|=,故C选项错误; 因为a=-b,所以向量a与b互为相反向量,夹角为180°,故D选项正确.故选ABD. 6.2 c-a=(0,0,1-x),2b=(2,4,2),由(c-a)·2b=-2得2(1-x)=-2,解得x=2. 7.解(1)空间向量a=(2,4,-2),b=(-1,0,2),c=(x,2,-1),因为a∥c,所以存在实数k,使得c=ka, 所以 解得x=1,则|c|=. (2)因为b⊥c,则b·c=-x+0-2=0,解得x=-2, 所以c=(-2,2,-1),故cos=. 8.C 因为向量a ... ... 
