2.4.3　向量与夹角--2025湘教版数学选择性必修第二册同步练习题（含解析）

中小学教育资源及组卷应用平台 2025湘教版数学选择性必修第二册 第2章2.4.3　向量与夹角 A级 必备知识基础练 1.已知平面α的一个法向量为n=(1,-1,0),则y轴与平面α所成的角的大小为(　　) A. B. C. D. 2.已知异面直线a,b的方向向量分别是m=(2,1,-3),n=(1,-3,2),则a,b夹角的大小是(　　) A. B. C. D. 3. 如图所示,PD垂直于正方形ABCD所在平面,AB=2,E为PB的中点,cos<>=,若以DA,DC,DP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,则点E的坐标为(　　) A.(1,1,1) B.(1,1,) C.(1,1,) D.(1,1,2) 4.已知正方体ABCD-A1B1C1D1中,E是A1B1的中点,则直线AE与平面ABC1D1所成角的余弦值是(　　) A. B. C. D. 5.如图,矩形ABCD是圆柱O1O2的轴截面,AB=2,AD=3,点E在上底面圆周上,且=2,则异面直线AE与O2C所成角的余弦值为(　　) A. B. C. D. 6.在一个锐二面角的两个面内都和二面角的棱垂直的两个向量分别为(0,-1,3),(2,2,4),则这个二面角的余弦值为　　　　　. 7. [人教B版教材例题]如图所示,已知直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ACB=90°,AC=BC=1,AA1=2,且D是AA1的中点.求平面BDC与平面BDC1所成角的大小. B级 关键能力提升练 8. 在如图所示的圆锥中,S是圆锥的顶点,正三角形ABC的顶点在底面圆周上,D是母线SA的中点,若该圆锥的母线长是底面半径的2倍,则异面直线AC与BD夹角的余弦值为(　　) A. B. C. D. 9.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,点E在线段CD1上,若直线BE与AD1夹角的余弦值为,则线段BE的长为(　　) A. B. C. D. 10.[2024广东东莞高二月考]古代城池中的“瓮城”,又叫“曲池”,是加装在城门前面或里面的又一层门,若敌人攻入瓮城中,可形成“瓮中捉鳖”之势.如下图的“曲池”是上、下底面均为半圆形的柱体.若AA1垂直于半圆柱下底面半圆所在平面,AA1=3,AB=4,CD=2,点E为弧A1B1的中点,则直线CE与平面DEB1所成角的正弦值为(　　) A. B. C. D. 11.长方体ABCD-A1B1C1D1中,AA1=2,AB=AD=1,P为线段AD1上的动点,则PB1与平面BCC1B1所成角的余弦值的最小值为(　　) A. B. C. D. 12. 如图,在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面边长为2,直线CC1与平面ACD1所成角的正弦值为,则正四棱柱的高为(　　) A.2 B.3 C.4 D.5 13. 如图,四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,AB⊥AD,AD∥BC,AD=2BC=2,AB=,E为CD中点. (1)求证:CD⊥平面PAE; (2)若PA=,求二面角A-PB-E的余弦值. 14. 如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,PA⊥平面ABCD,AP∥CQ,AB=2BC=2,CQ=AP=3. (1)求直线PD与平面BPQ所成角的正弦值; (2)求平面APQ与平面BPQ所成角的余弦值. 15. [2023全国新高考卷Ⅰ,18(2)]如图,在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,AA1=4.点A2,B2,C2,D2分别在棱AA1,BB1,CC1,DD1上,AA2=1,BB2=DD2=2,CC2=3.点P在棱BB1上,当二面角P-A2C2-D2为150°时,求B2P. C级 学科素养创新练 16. 三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱与底面垂直,AA1=AB=AC=1,AB⊥AC,N是BC的中点,点P在棱A1B1上,且满足=λ(0≤λ≤1).求当直线PN与平面ABC所成的角取最大值时λ的值. 2.4.3　向量与夹角 1.B　易知y轴的方向向量为m=(0,1,0),解得sin α=|cos|=||=,则α=.故选B. 2.C　∵异面直线a,b的方向向量分别是m=(2,1,-3),n=(1,-3,2).∴cos==-.∵异面直线a,b夹角的取值范围为(0,], ∴a,b夹角的大小是.故选C. 3.A　设|PD|=a(a>0),则A(2,0,0),B(2,2,0),P(0,0,a),E(1,1,), ∴=(0,0,a),=(-1,1,). ∵cos<>=,∴=a, ∴a=2,∴E的坐标为(1,1,1).故选A. 4.A　如图, 以D为原点建立空间直角坐标系,设正方体的棱长为2, 则A(2,0,0),E(2,1,2),B(2,2,0),C1(0,2,2),=(0,2,0),=(-2,0,2),=(0,1,2), 设平面ABC1D1的法向量为n=(x,y,z), 则 ∴令x=1,则n=(1,0,1). 设直线AE与平面ABC1D1所成的角为θ,则sin θ=|cos<,n>|=,于是直线AE与平面ABC1D1所成角的余弦值为.故选A. 5. ... ...