6.3.1　二项式定理--2025人教A版数学选择性必修第三册同步练习题（含解析）

中小学教育资源及组卷应用平台 2025人教A版数学选择性必修第三册 6.3　二项式定理 6.3.1　二项式定理 A级 必备知识基础练 1.[探究点一](x+2)n的展开式共有12项,则n=(　　) A.9 B.10 C.11 D.8 2.[探究点一]下列不属于(x-2)3的展开式中的项的是(　　) A.x3 B.6x2 C.12x D.-8 3.[探究点二·2024贵州校联考模拟预测]在x+8的展开式中,含的项的系数为(　　) A.8 B.28 C.56 D.70 4.[探究点一]化简(x+1)4-4(x+1)3+6(x+1)2-4(x+1)+1的结果为(　　) A.x4 B.(x-1)4 C.(x+1)4 D.x4-1 5.[探究点二]使得3x+n(n∈N*)的展开式中含有常数项的最小的n为(　　) A.4 B.5 C.6 D.7 6.[探究点一](多选题)对于+x3n(n∈N*),下列判断正确的有(　　) A.存在n∈N*,展开式中有常数项 B.对任意n∈N*,展开式中没有常数项 C.对任意n∈N*,展开式中没有x的一次项 D.存在n∈N*,展开式中有x的一次项 7.[探究点二]若(x+a)10的展开式中,x7的系数为15,则a=　　　　　.(用数字填写答案) 8.[探究点一]若(1+)4=a+b(a,b为有理数),则a+b=　　　　　. 9.[探究点二]已知x2-9,求展开式中的 (1)第6项; (2)第3项的系数; (3)含x9的项; (4)常数项. 10.[探究点二]已知n的展开式中的第9项与第10项二项式系数相等,求x的系数(用组合数表示). 11.[探究点三]求证:1+2+22+…+25n-1(n∈N*)能被31整除. B级 必备知识基础练 12.在(1-x3)(1+x)10的展开式中,x5的系数是 (　　) A.-297 B.-252 C.297 D.207 13.对任意实数x,有x3=a0+a1(x-2)+a2(x-2)2+a3(x-2)3,则a2的值为(　　) A.3 B.6 C.9 D.21 14.(x2+2)-15的展开式中的常数项是(　　) A.-3 B.-2 C.2 D.3 15.-2+4-8+…+(-2)n=(　　) A.(-1)n-1 B.(-1)n C.3n D.3n-1 16.在3x2-n的展开式中含有常数项,则正整数n的最小值为(　　) A.4 B.5 C.6 D.7 17.已知在x2-n的展开式中,第9项为常数项,则: (1)n的值为　　　　　; (2)含x的整数次幂的项有　　　　　个. 18.在(1-x)5+(1-x)6+(1-x)7+(1-x)8的展开式中,含x3的项的系数是　　　　. 19.已知(xcos θ+1)5的展开式中x2的系数与x+4的展开式中x3的系数相等,则cos θ=　　　　. 20.若ax2-6的展开式中x3项的系数为-160,则a2+b2的最小值为　　　　　　. 21.已知n的展开式中,前三项系数的绝对值依次成等差数列. (1)证明:展开式中没有常数项; (2)求展开式中所有的有理项. C级 学科素养创新练 22.已知xn的展开式中,前三项的二项式系数之和为37. (1)求含x的整数次幂的项; (2)展开式中第几项的二项式系数大于相邻两项的二项式系数,并证明你的结论. 参考答案 6.3　二项式定理 6.3.1　二项式定理 1.C　∵(a+b)n的展开式共有n+1项,而(x+2)n的展开式共有12项,∴n=11. 2.B　由二项式定理可知,(x-2)3=x3-6x2+12x-8,故6x2不是展开式中的项.故选B. 3.B　展开式的通项为Tr+1=x8-rx-r=x8-2r. 当8-2r=-4,即r=6时,=28, 所以含的项的系数为28.故选B. 4.A　由题可得,(x+1)4-4(x+1)3+6(x+1)2-4(x+1)+1=(x+1)4+(x+1)3×(-1)+(x+1)2×(-1)2+(x+1)×(-1)3+(-1)4=[(x+1)-1]4=x4.故选A. 5.B　展开式中的第k+1项为(3x)n-k3n-k若展开式中含常数项,则存在n∈N*,k∈N,使n-k=0,故最小的n为5,故选B. 6.AD　+x3n的展开式的通项为Tk+1=x4k-n,由通项可知,当n=4k(k∈N*)和n=4k-1(k∈N*)时,展开式中分别存在常数项和x的一次项,故选AD. 7　二项展开式的通项为Tk+1=x10-kak,当10-k=7时,k=3,T4=a3x7,则a3=15,故a= 8.44　∵(1+)4=1+()1+()2+()3+()4=1+4+18+12+9=28+16, ∴a=28,b=16, ∴a+b=28+16=44. 9.解 由题可得,x2-9的展开式的通项是Tk+1=(x2)9-k-k=-kx18-3k. (1)T6=-5x3=-x3. (2)因为T3=-2x12=9x12,所以展开式第3项的系数为9. (3)令18-3k=9,得k=3, 所以T4=-3x9=-x9. (4)令18-3k=0,得k=6,所以T7=-6=,即展开式的常数项为T7= 10.解, ∴n=17,Tk+1=2k ... ...