专题07 经典三类球：外接球、内切球、棱切球（9大题型）-直击2025期末：高一数学下册必考题型全解析（人教A版2019）（学生版+教师版）

中小学教育资源及组卷应用平台 专题07 经典三类球：外接球、内切球、棱切球 【题型归纳目录】 题型一：正方体、长方体外接球 题型二：正四面体外接球 题型三：对棱相等的三棱锥外接球 题型四：直棱柱外接球 题型五：直棱锥外接球 题型六：正棱锥外接球 题型七：台体模型 题型八：锥体内切球 题型九：棱切球 【知识点梳理】 考点一：正方体、长方体外接球 1、正方体的外接球的球心为其体对角线的中点，半径为体对角线长的一半． 2、长方体的外接球的球心为其体对角线的中点，半径为体对角线长的一半． 3、补成长方体 （1）若三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，则可将其放入某个长方体内，如图1所示． （2）若三棱锥的四个面均是直角三角形，则此时可构造长方体，如图2所示． （3）正四面体可以补形为正方体且正方体的棱长，如图3所示． （4）若三棱锥的对棱两两相等，则可将其放入某个长方体内，如图4所示 图1 图2 图3 图4 考点二：正四面体外接球 如图，设正四面体的的棱长为，将其放入正方体中，则正方体的棱长为，显然正四面体和正方体有相同的外接球．正方体外接球半径为，即正四面体外接球半径为． 考点三：对棱相等的三棱锥外接球 四面体中，，，，这种四面体叫做对棱相等四面体，可以通过构造长方体来解决这类问题． 如图，设长方体的长、宽、高分别为，则，三式相加可得而显然四面体和长方体有相同的外接球，设外接球半径为，则，所以． 考点四：直棱柱外接球 如图1，图2，图3，直三棱柱内接于球（同时直棱柱也内接于圆柱，棱柱的上下底面可以是任意三角形） 图1 图2 图3 第一步：确定球心的位置，是的外心，则平面； 第二步：算出小圆的半径，（也是圆柱的高）； 第三步：勾股定理：，解出 考点五：直棱锥外接球 如图，平面，求外接球半径． 解题步骤： 第一步：将画在小圆面上，为小圆直径的一个端点，作小圆的直径，连接，则必过球心； 第二步：为的外心，所以平面，算出小圆的半径（三角形的外接圆直径算法：利用正弦定理，得），； 第三步：利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：①； ②． 考点六：正棱锥外接球 正棱锥外接球半径： ． 考点七：垂面模型 如图1所示为四面体，已知平面平面，其外接球问题的步骤如下： （1）找出和的外接圆圆心，分别记为和． （2）分别过和作平面和平面的垂线，其交点为球心，记为． （3）过作的垂线，垂足记为，连接，则． （4）在四棱锥中，垂直于平面，如图2所示，底面四边形的四个顶点共圆且为该圆的直径． 图1 图2 考点八：锥体内切球 方法：等体积法，即 考点九：棱切球 方法：找切点，找球心，构造直角三角形 【典型例题】 题型一：正方体、长方体外接球 【例1】（2025·高一·北京·期中）已知正方体棱长为2，则这个正方体外接球的表面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为正方体棱长为2，体对角线为外接球的直径， 所以外接球半径， 所以正方体外接球的表面积为， 故选：C. 【变式1-1】（2025·高二·云南文山·期末）已知长方体的体积为16，且，则长方体外接球表面积的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设，由长方体的体积为16可得： ，即， 长方体外接球的半径为， 所以， 当且仅当“”时取等，所以， 当，长方体外接球表面积的最小值为. 故选：C. 【变式1-2】（2025·高一·湖南·期中）若长方体的长、宽、高分别为1，1，2，则该长方体外接球的体积为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由已知长方体的对角线长为. 所以外接球半径为， 体积为. 故选：A. 题型二：正四面体外接球 【例2】（2025·高二·湖南·期中）已知正四面体的棱长为3，点在棱上，且，若点都在球的球面上，则球的表面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】如 ... ...