2016中考数学压轴题动态问题 专题十二面积等量关系的存在性 【考情分析】 中考压轴题中面积等量关系的存在性问题，一般的解题策略： （1）根据题目中的位置关系和等量关系，写出面积关于自变量的函数关系，这里需要强调的是一定要正确的写出自变量的取值范围;2·1·c·n·j·y （2）根据题目中的面积等量关系，建立方程，求出自变量的取值； （3）验证自变量取值的合理性. 1.已知：如图，□ABCD中，AD＝3cm，CD＝1cm，∠B＝45°，点P从点A出发，沿AD方向匀速运动，速度为3cm/s；点Q从点C出发，沿CD方向匀速运动，速度为1cm/s，连接并延长QP交BA的延长线于点M，过M作MN⊥BC，垂足是N．设运动时间为t（s）（0＜t ＜1）．解答下列问题：21世纪教育网版权所有 （1）当t为何值时，四边形AQDM是平行四边形？ （2）设四边形ANPM的面积为y（cm2），求y与t之间的函数关系式； （3）是否存在某一时刻t，使四边形ANPM的面积是□ABCD面积的一半？若存在，求出相应的t值，若不存在，说明理由；【来源：21·世纪·教育·网】 （4）连接AC，是否存在某一时刻t，使NP与AC的交点把线段AC分成 : 1的两部分？若存在，求出相应的t值，若不存在，说明理由． 分析：（1）根据平行四边形的对角线互相平分得出AP=DP，代入求出即可； （2）求出AP和MN的值，根据三角形的面积公式求出即可； （3）假设存在某一时刻t，四边形ANPM的面积是平行四边形ABCD的面积的一半．根据（2）中求出的关系式，列方程求出t的值； （4）假设存在某一时刻t，使NP与AC的交点把线段AC分成 : 1的两部分，证△APE∽△CNE，得出 ＝ ，代入求出即可．21·世纪*教育网 解答：（1）∵四边形AQDM是平行四边形 ∴PA＝PD，即3t＝3－3t，解得t＝ ∴当t＝ s时，四边形AQDM是平行四边形 （2）∵四边形ABCD是平行四边形 ∴AB∥CD，∴∠MAP＝∠D 又∵∠MPA＝∠QPD，∴△MAP∽△QDP ∴ ＝ ，即 ＝ ∴AM＝t ∵MN⊥BC，在Rt△MBN中，sin45°＝ ＝ ∴MN＝ ( 1＋t ) ∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC 又∵MN⊥BC，∴MN⊥AD ∴S四边形ANPM ＝S△MAP ＋ S△NAP ＝ AP·MN＝ ·3t·( 1＋t )＝ t 2＋ t 即y与t之间的函数关系式为y＝ t 2＋ t （3）假设存在某一时刻t，使四边形ANPM的面积是□ABCD面积的一半 此时 t 2＋ t＝ ×3× 解得t1＝ ，t2＝ （舍去） ∴当t＝ s时，四边形ANPM的面积是□ABCD面积的一半 （4）假设存在某一时刻t，使NP与AC的交点把线段AC分成 : 1的两部分 设NP与AC相交于点E，则AE : EC＝ : 1或AE : EC＝1 : 当AE : EC＝ : 1时 ∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC ∴△APE∽△CNE，∴ ＝ 即 ＝ ，解得t＝ 当AE : EC＝1 : 时 同理可得： ＝ ，解得t＝ ∴当t＝ s或t＝ s时，NP与AC的交点把线段AC分成 : 1的两部分 点评：本题考查了相似三角形的性质和判定，平行四边形的性质，解直角三角形，勾股定理的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理和计算的能力，本题综合性比较强，有一定的难度． ??21cnjy.com 2．如图1，已知△ABC中，AB＝10cm，AC＝8cm，BC＝6cm．如果点P由B出发沿BA方向向点A匀速运动，同时点Q由A出发沿AC方向向点C匀速运动，它们的速度均为2cm/s．连接PQ，设运动的时间为t（单位：s）（0≤t ≤4）．解答下列问题： （1）当t为何值时，PQ∥BC． （2）设△AQP的面积为S（单位：cm2），当t为何值时，S取得最大值，并求出最大值． （3）是否存在某时刻t，使线段PQ恰好把△ABC的面积平分？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由．2-1-c-n-j-y （4）如图2，把△AQP沿AP翻折，得到四边形AQPQ′ ．那么是否存在某时刻t，使四边形AQPQ′ 为菱形？若存在，求出此时菱形的面积；若不存在，请说明理由． 分析：（1）由PQ∥BC时的比例线段关系，列一元一次方程求解； （2 ... ...
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