【标题】第2章 三角恒等变换 【标题】2.1 两角和与差的三角函数 【标题】2.1.1 两角和与差的余弦公式 [新课程标准] [新学法解读] 1.通过探究，了解两角和与差的余弦公式的推导过程. 2.熟记两角和与差的余弦公式的形式及符号特征，并能利用该公式进行求值、计算. 在熟知两角和与差余弦公式的意义的基础上，重点提升学生的数学运算、逻辑推理的素养. ＠课前精梳理 笔记 教材 知识点 两角和与差的余弦公式 名称 简记符号 公式 使用条件 两角差的余弦公式 C（α－β） cos（α－β）＝ cos αcos β＋ sin αsin β α，β∈R 两角和的余弦公式 C（α＋β） cos（α＋β）＝ cos αcos β－ sin αsin β α，β∈R 重点 理解 两角差的余弦公式的推导过程 当α－β∈[0，π]时，如图，设α＝∠xOP，β＝∠xOP'，在这两个角的终边上分别取两个单位向量＝a，＝b，则∠AOB＝α－β就是a与b的夹角. 根据前面所学的向量知识可知，a，b的数量积为a·b＝｜a｜｜b｜cos＜a，b＞＝cos＜a，b＞. 由平面向量基本定理知，a＝（cos α，sin α），b＝（cos β，sin β），则a·b＝（cos α，sin α）·（cos β，sin β）＝cos αcos β＋sin αsin β. 所以cos＜a，b＞＝cos αcos β＋sin αsin β.① 又当α－β∈[0，π]时，cos＜a，b＞＝cos（α－β），因此cos（α－β）＝cos αcos β＋sin αsin β. 对任意的角α，β，总可选取适当的整数k，使得α－β－2kπ∈[－π，π），记β1＝β＋2kπ，则β1与β的终边相同，且α－β1∈[－π，π），如图，从而0≤｜α－β1｜≤π，则｜α－β1｜就是a，b的夹角＜a，b＞. 因此cos＜a，b＞＝cos｜α－β1｜＝cos（α－β1）＝cos（α－β－2kπ）＝cos（α－β）.② 将②代入①，得到cos（α－β）＝cos αcos β＋sin αsin β. 自我 排查 1.化简cos 15°cos 45°＋cos 75°sin 45°的值为（ B ） A. B. C.－ D.－ 2.cos（－15°）的值是（ D ） A. B. C. D. 3.sincos－sinsin的值是 . 解析：原式＝sin（）cos－sin·sin ＝coscos－sinsin ＝cos. 4.若cos（α－β）＝，则（sin α＋sin β）2＋（cos α＋cos β）2＝ . 解析：原式＝sin2α＋2sin αsin β＋sin2β＋cos2α＋2cos αcos β＋cos2β＝（sin2α＋cos2α）＋（sin2β＋cos2β）＋2（cos αcos β＋sin αsin β）＝2＋2cos（α－β）＝2＋. ＠课堂强研习 研习1 给角求值 [典例1] （1）cos 165°＝（ C ） A. B.－ C.－ D.－ [解析] cos 165°＝cos（180°－15°） ＝－cos 15°＝－cos（60°－45°） ＝－（cos 60°cos 45°＋sin 60°sin 45°） ＝－，故选C. （2）cos（35°－α）cos（25°＋α）＋sin（α－35°）·sin（25°＋α）＝ . [解析] 原式＝cos[（α－35°）－（25°＋α）] ＝cos（－60°）＝cos 60°＝. 巧归纳 利用两角差的余弦公式求值的一般思路 (1)把非特殊角转化为特殊角的差，用公式直接求解，如15°=45°—30°=60°—45° (2)在转化过程中，充分利用诱导公式,构造两角差的余弦公式右边形式,然后逆用公式求值。 [练习1] 化简求值：cos 80°cos 35°＋cos 10°·cos 55°. 解：原式＝cos 80°cos 35°＋sin 80°sin 35° ＝cos（80°－35°）＝cos 45°＝. 研习2 给值求值 [典例2] 若cos α＝，α∈（0，），则cos（α－）＝ . [解析] ∵α∈，cos α＝， ∴sin α＝. ∴cos＝cos αcos＋sin αsin. 巧归纳 在解决三角西数的给值求值问题时,一定要注意己知角与所求角之问的关茶,恰当地运用拆角、拼：角技巧。同时分析角之问的关系，利用角的代换化 异角为同角. 常见的角的变换有： α＝（α＋β）－β＝β－（β－α）＝（α－β）＋β α＝ ... ...
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