4．4 数学归纳法* 4.4.1 数学归纳法(1) 一、 单项选择题 1 利用数学归纳法证明f(n)＝1＋2＋3＋…＋(3n＋1)(n∈N*)时，第一步应证明( ) A. f(2)＝1＋2 B. f(1)＝1 C. f(1)＝1＋2＋3 D. f(1)＝1＋2＋3＋4 2 (2025启东联考)用数学归纳法证明1＋2＋22＋…＋2n+2＜2n+3(n∈N*)时，第一步需要验证的不等式是( ) A. 1＜24 B. 1＋2＜24 C. 1＋2＋22＜24 D. 1＋2＋22＋23＜24 3 (2024海门证大中学)用数学归纳法证明“2n≥n2(n∈N*，n≥4)”时，第二步应假设( ) A. 当n＝k(k∈N*，k≥2)时，2k≥k2成立 B. 当n＝k(k∈N*，k≥3)时，2k≥k2成立 C. 当n＝k(k∈N*，k≥4)时，2k≥k2成立 D. 当n＝k(k∈N*，k≥5)时，2k≥k2成立 4 用数学归纳法证明不等式“1＋＋＋…＋对任意n＞k(n，k∈N)的自然数都成立，则k的最小值为( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、 多项选择题 7 已知关于自然数n的命题P(n)，由P(k)成立可以推出P(k＋1)成立，若P(6)不成立，则下列结论中不正确的是( ) A. P(7)一定不成立 B. P(5)可能成立 C. P(2)一定不成立 D. P(4)不一定成立 8 (2024盐城中学月考)下列说法中，正确的是( ) A. 用数学归纳法证明问题时，第一步不一定是验证当n＝1时结论成立 B. 所有与正整数有关的数学命题都必须用数学归纳法证明 C. 不论是等式还是不等式，用数学归纳法证明时，由n＝k到n＝k＋1时，项数都增加了一项 D. 用数学归纳法证明等式“1＋2＋22＋…＋2n+2＝2n+3－1”，验证n＝1时，左边式子应该为1＋2＋22＋23 三、 填空题 9 已知x＞－1且x≠0，用数学归纳法证明命题“当n∈Z且n＞1时，(1＋x)n＞1＋nx”，第一步应验证的不等式为_____． 10 (2024启东一中月考)用数学归纳法证明等式1＋2＋3＋…＋(2n－1)＋2n＝2n-1＋22n-1(n∈N*)的过程中，由n＝k递推到n＝k＋1时，左边增加的项数为_____． 11 用数学归纳法证明“设f(n)＝1＋＋＋…＋，则n＋f(1) ＋f(2) ＋…＋f(n－1)＝nf(n)(n∈N*，n≥2)”时，第一步要证的式子是_____． 四、 解答题 12 用数学归纳法证明：(12＋1)＋(22＋2)＋…＋(n2＋n)＝n(n＋1)(n＋2). 13 (2024盐城中学月考)已知数列{an}满足：a1＝1，且对任意n∈N*，都有an＋1＝. (1) 直接写出a2，a3，a4的值； (2) 猜想{an}的通项公式，并用数学归纳法证明． 4．4.2 数学归纳法(2) 一、 单项选择题 1 用数学归纳法证明1＋2＋22＋…＋25n-1(n∈N*) 能被31整除时，从n＝k递推到n＝k＋1时，增加的项数共有( ) A. 7 B. 6 C. 5 D. 4 2 用数学归纳法证明“(3n＋1)·7n－1(n∈N*)能被9整除”，在假设n＝k时命题成立之后，需证明n＝k＋1时命题也成立，这时除了用归纳假设外，还需证明能被9整除的余项是( ) A. 3·7k+1＋6 B. 3·7k＋6 C. 3·7k－3 D. 3·7k+1－3 3 k棱柱有f(k)个对角面，则(k＋1)棱柱的对角面个数f(k＋1)(k≥3，k∈N*)为( ) A. f(k)＋k－1 B. f(k)＋k＋1 C. f(k)＋k D. f(k)＋k－2 4 已知经过同一点的n(n∈N*，n≥3)个平面，任意三个平面不经过同一条直线，若这n个平面将空间分成f(n)个部分．现用数学归纳法证明这一命题，证明过程中由n＝k到 n＝k＋1时，应证明增加的空间个数为( ) A. 2k B. 2k＋2 C. D. k2＋k＋2 5 (2024如东中学月考)用数学归纳法证明“对任意偶数n，an－bn能被a－b整除”时，其第二步论证应该是( ) A. 假设当n＝k(k为正整数)时命题成立，再证当n＝k＋1时命题也成立 B. 假设当n＝2k(k为正整数) ... ...
