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课件网) 4.4指数函数、幂函数、对数函数增长的比较 复习回顾：指数函数、对数函数、幂函数的单调性 指数函数y=ax (a>1)，对数函数y=logax(a>1)和幂函数(在区间（0，+∞）上的单调性如何？ 1.指数函数y=ax (a>1)图像及a对图像影响 y=bx y=ax y x O 1 b a 底数a越大，其函数值增长就越快. 2.对数函数y=logax (a>1)图像及a对图像影响 底数a越小，其函数值增长就越快. y=logax y=logbx y x O 1 a b 3.幂函数 (>1)图像及对图像影响 y=x2 y=x3 y x O x>1时，越大其函数值增长就越快. 1 新知探究：函数y= ①对数函数 y=log2x增长最慢 ②在（0,2)，幂函数比指数函数增长快；在(4,+∞)，指数函数比幂函数增长快 新知探究：函数y= 抽象和概括 ①对数函数增长最慢 ②当自变量x大于某一个特定值时，指数函数比幂函数增长快 ③由于指数函数增长非常快，人们常称这种现象为“指数爆炸” 学以致用 学以致用 针对练习 抽象概括 常见的函数模型及增长特点 (1)线性函数模型 线性函数模型y=kx+b(k>0)的增长特点是直线上升，其增长速度不变. (2)指数函数模型 指数函数模型y=ax(a>1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快，形象地称为“指数爆炸”. (3)对数函数模型 对数函数模型y=logax(a>1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越慢，即增长速度平缓. (4)幂函数模型 幂函数y=xn(n>0)的增长速度介于指数增长和对数增长之间. 1.下列函数中，随x的增大，增长速度最快的是( ). A.y=100x B.y=x100 C.y=100x D.y=log100x(x∈N*) 2.某工厂8年来某种产品的总产量C与时间t(单位：年)的函数关系如图所示. 有下列四种说法： ①前三年产量增长的速度越来越快； ②前三年产量增长的速度越来越慢； ③第三年后这种产品停止生产； ④第三年后产量保持不变. 其中说法正确的是 . 课后作业 3.以下是三个变量y1，y2，y3随变量x变化的函数值表： 其中，关于x呈指数函数变化的变量是 . x 1 2 3 4 5 6 7 8 … y1 2 4 8 16 32 64 128 256 … y2 1 4 9 16 25 36 49 64 … y3 0 1 1.585 2 2.322 2.585 2.807 3 … 1.下列函数中，随x的增大，增长速度最快的是( ). A.y=100x B.y=x100 C.y=100x D.y=log100x(x∈N*) 【解析】四个函数中，增长速度由慢到快依次是y=log100x，y=100x，y=x100，y=100x. C 2.某工厂8年来某种产品的总产量C与时间t(单位：年)的函数关系如图所示. 有下列四种说法： ①前三年产量增长的速度越来越快； ②前三年产量增长的速度越来越慢； ③第三年后这种产品停止生产； ④第三年后产量保持不变. 其中说法正确的是 . 【解析】由t∈[0，3]的图象联想到幂函数y=xα(0<α<1)，反映了C随时间的变化逐渐增长但速度越来越慢.由t∈[3，8]的图象可知，总产量C没有变化，即第三年后停产，所以②③正确. ②③ 3.以下是三个变量y1，y2，y3随变量x变化的函数值表： 其中，关于x呈指数函数变化的变量是 . 【解析】从表格可以看出三个变量y1，y2，y3都随x的增大而增大，但增长速度不同，其中y1的增长速度最快，画出它的散点图(图略)知变量y1关于x呈指数函数变化. y1 x 1 2 3 4 5 6 7 8 … y1 2 4 8 16 32 64 128 256 … y2 1 4 9 16 25 36 49 64 … y3 0 1 1.585 2 2.322 2.585 2.807 3 … ... ...
