(
课件网) 知识点 锐角三角函数的定义 1 1. 定义 如图24.3-1，在 △ ABC 中， ∠ C=90°， ∠ A 的正弦：sin A= ∠ A 的余弦：cos A= ∠ A 的正切：tan A= ∠ A 的正弦、余弦、正切统称为锐角∠ A 的三角函数. 2. 表示法 (1)在sin A，cos A，tan A 中，三角函数的符号一定要小写，不能大写. (2)当锐角是用一个大写英文字母或一个小写希腊字母表示时，它的三角函数习惯上省略角的符号，如sin A，cos α ，tan B 等；当锐角是用三个大写英文字母或数字表示时，它的三角函数不能省略角的符号，如sin ∠ ABC，sin ∠ 1 等. (3)“sin A”，“cos A”，“tan A”是整体符号，不能理解为“sin·A”，“cos ·A”，“tan ·A”. (4)sin2A 表示sin A·sin A=(sin A)2，不能写成sin A2；cos2A 表示cos A·cos A=(cos A)2，不能写成cos A2；tan2A 表示tan A·tan A=(tan A)2，不能写成tan A2. 特别提醒 1. 正 弦、余弦、正切都是一个比值，是没有单位的数值，它们只与锐角的大小有关，而与三角形的边的长短无关. 2. 由于直角三角形的斜边大于直角边，且各边的边长均为正数，所以锐角三角函数值都是正实数，且0 ＜sin A ＜1，0 ＜cos A ＜1，tan A ＞0. 3. 正 弦、余弦、正切符号后面可以直接写锐角的度数，如sin28°，cos8 °，tan18°等. 4. sin x，cos x和tan x都是以x为自变量的函数，一旦x的度数确定，它们的值就唯一确定，即锐角三角函数值随角度的变化而变化 . 在Rt △ ABC 中，∠ C=90°，∠ A，∠ B，∠ C 的对边分别为a，b，c. 已知a=6，b=8，求出∠ A的三角函数值. 例 1 解题秘方：紧扣“锐角三角函数的定义”求解. 解：如图24.3-2，在Rt △ ABC 中， ∵∠ C=90°，a=6，b=8， ∴ c= =10. ∴ sin A= ，cos A= ， tan A= . 1-1. 如图， 在矩形纸片ABCD 中，AB=9，BC=12，把△ BCD 沿对角线BD 折叠， 使点C落在点C′处，BC′交AD于点G， 则sin ∠ ABG的值为( ) A. B. C. D. D 在△ABC 中，∠C=90°，sin A= ，则tan B=( ) A. B. C. D. 解题秘方：当三角形出现边与边的比时，可引入参数，用这个参数表示出三角形的三边长，再用定义求解. 例2 解： 由sin A= ，可设BC=4k(k>0)， 则AB= 5k，根据勾股定理，得AC=3k，∴ tan B= . 答案：B 2-1. 已知sinα = ，α 为锐角， 求cosα 和tanα 的值. 解：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°. 设∠A＝α，BC＝3k(k＞0)． 如图24.3-3，在等腰三角形ABC 中，AB=AC，如果2AB=3BC，求∠ B 的三个三角函数值. 例 3 解题秘方：紧扣“锐角三角函数的定义的前提是在直角三角形中”这一特征，用“构造直角三角形法”求解. 解：过点A 作AD⊥BC 于点D，如图24.3-3， ∵ AB=AC，∴ BD=DC. 又∵ 2AB=3BC，∴ . 设AB=AC=3k(k>0)，则BC=2k. ∴ BD=CD=k，∴ AD=2 k. ∴ sin B= ，cos B= ，tan B= =2 . 3-1. 将一副三角尺(Rt △ ABC 与Rt △ BDC)按如图所示的方式摆放在一起，连接AD，试求∠ ADB 的正切值. 解：过点A作AM⊥DB，交DB的延长线于点M. ∵∠DBC＝45°，∠ABC＝90°， ∴∠MBA＝180°－45°－90°＝45°， ∴∠MAB＝45°. ∴∠MBA＝∠MAB，∴AM＝BM. 如图24.3-4， 在△ ABC 中， ∠ ACB=90 °，AC=BC=4，将△ ABC 折叠，使点A 落在BC 边上的点D 处，EF 是折痕，若AE=3，则sin ∠ BFD 的值为( ) A. B. C. D. 例4 解题秘方：紧扣“角相等则其三角函数值也相等”这一特征，用“等角转换法”将所要求的角的三角函数值转化为直角三角形中与该角相等的角的三角函数值. 解：∵在△ ABC 中，AC=BC=4，∴∠ A = ∠ B. 由折叠得∠ EDF = ∠ A= ∠ B. ∵∠ CDF = ∠ CDE + ∠ EDF = ∠ B + ∠ BFD， ∴∠ CDE = ∠ BFD.∵ CE=AC－AE=1， ∴ sin ∠ BFD=sin ... ...
