2.4 空间向量在立体几何中的应用 练习 一、选择题 1．已知,直线l过原点且平行于,则A到l的距离为( ). A. B.1 C. D. 2．直线的一个方向向量为( ) A. B. C. D. 3．已知直线l过点，且为其一个方向向量，则点到直线l的距离为( ) A. B. C. D. 4．定义:两条异面直线之间的距离是指其中一条直线上任意一点到另一条直线距离的最小值.在棱长为1的正方体中,直线与之间的距离是( ) A. B. C. D. 5．已知平面的一个法向量为,点在平面内,点在平面外,则直线与平面所成角的大小为( ) A. B. C. D. 6．六氟化硫是一种无机化合物，常温常压下为无色无味无毒不燃的稳定气体.化学式为，在其分子结构中，硫原子位于中心，六个氟原子均匀分布在其周围，形成一个八面体的结构.如图所示，该分子结构可看作正八面体，记为，各棱长均相等，则平面与平面夹角的余弦值是( ) A. B. C. D. 7．如图,正方体的棱长为2,E是的中点,则点A到直线的距离为( ) A. B. C. D. 8．已知是平面的一个法向量,且,则点M到平面的距离为( ) A.2 B. C.4 D. 二、多项选择题 9．如图：三棱锥中，面，，，，，M，N，Q分别为棱，，的中点，E为棱上的动点，过M，N，E的平面交于F.下列选项中正确的有( ) A.的最小值为2 B.时， C.三棱锥被平面分割成的两部分体积相等 D.当E为中点时，N，E，M，F，Q五点在一个球面上，且球的半径为 10．在三棱柱中,D为的中点,,平面,,则下列结论错误的是( ) A.平面平面 B.平面平面 C.平面 D. 11．已知向量，分别为两个不同的平面，的法向量，为直线l的方向向量，且，则( ) A. B. C. D. 三、填空题 12．已知平面经过点，且向量是平面的法向量，则点到平面的距离为_____. 13．已知直线l的一个方向向量,且直线l过和两点,则_____. 14．已知平面的一个法向量为，平面内一点C的坐标为，平面外一点A的坐标为，则点A到平面的距离为_____. 15．在正方体中,,则点到直线的距离为_____. 四、解答题 16．如图，四棱锥的底面是矩形，底面，，M为的中点，且. (1)求； (2)求二面角的正弦值 17．如图，在三棱台中，，平面，，，，且D为中点.求证：平面； 18．如图所示,已知平面,四边形为矩形,,,分别为,的中点.求证: （1）平面; （2）平面平面. 19．在如图所示的试验装置中，两个正方形框架、的边长都是1，且它们所在的平面互相垂直，活动弹子M、N分别在正方形对角线和上移动，且和的长度保持相等，记. (1)证明：平面； (2)当a为何值时，的长最小并求出最小值； (3)当的长最小时，求平面与平面夹角的余弦值. 20．（例题）如图，在直三棱柱中，，，，P为BC的中点，点Q，R分别在棱，上，，.求平面PQR与平面夹角的余弦值. 参考答案 1．答案：C 解析：由题意取,则, 所以A到l的距离为. 故选:C 2．答案：A 解析：直线l的斜率为 设直线l的方向向量为，则，只有A项满足 故选：A 3．答案：B 解析：由已知可得，又， 所以向量在向量上的投影向量的模为 ，又 所以点到直线l的距离为, 故选：B. 4．答案：B 解析：设为直线上任意一点,过M作,垂足为,可知此时M到直线距离最短 设,, 则, , ,, 即, ,即, , , , 当时,取得最小值, 故直线与之间的距离是. 故选:B. 5．答案：D 解析：由题意可得,而平面的一个法向量为, 故直线与平面所成角的正弦值为, 结合线面角范围为,可知直线与平面所成角的大小为, 故选:D 6．答案：D 解析：设正八面体的棱长为a，连接、相较于点O，连接， 根据正八面体的性质可知为正方形，，平面， 建立如图所示，以O为坐标原点， 分别以、、为x、y、z轴的空间直角坐标系， ，，，， 所以，， 设平面的法向量为， 所以，， 令，则有：，所以， ，， 设平面的法向量为， 所以，， 令，则有：，所以， 设平面与平面夹角为，则， 平面与平面夹角的余弦值为. 故选：D 7．答案：D 解析： ... ...
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