微练(四) 基本不等式 基础过关 一、单项选择题 1．已知a，b∈(0,1)且a≠b，下列各式中最大的是( ) A．a2＋b2 B．2 C．2ab D．a＋b 2．当x>1时，函数f(x)＝的最大值为( ) A． B． C．1 D．2 3．已知a>0，b>0，若2a＋b＝4，则的最小值为( ) A． B．4 C． D．2 4．若正实数a，b满足a＋4b＝ab，则ab的最小值为( ) A．16 B．8 C．4 D．2 5．若x<0，则函数y＝x2＋－x－的最小值是( ) A．－ B．0 C．2 D．4 6．已知a，b为正实数，且a＋2b＝1，则＋的最小值为( ) A．1＋2 B．2＋2 C．3＋2 D．4＋2 7．(2025·南宁模拟)某单位为提升服务质量，花费3万元购进了一套先进设备，该设备每年管理费用为0.1万元，已知使用x年的维修总费用为万元，则该设备年平均费用最少时的年限为( ) A．7 B．8 C．9 D．10 8．(2025·西安模拟)已知a＞0，b＞0，若不等式＋≥恒成立，则m的最大值为( ) A．9 B．12 C．18 D．24 二、多项选择题 9．下列不等式一定成立的有( ) A．≥2 B．2x(1－x)≤ C．x2＋≥2－1 D．＋≥2 10．若正实数a，b满足a＋b＝1，则下列结论正确的是( ) A．＋有最小值4 B．ab有最小值 C．＋有最大值 D．a2＋b2有最小值 三、填空题 11．若log2m＋log2n＝1，那么m＋n的最小值是_____． 12．若0
0，b>0，a＋b＝9，则＋的最小值为_____． 素养提升 14．(多选题)(2025·重庆调研)已知x>0，y>0，且x＋y＋xy－3＝0，则下列结论正确的是( ) A．xy的取值范围是(0,9] B．x＋y的取值范围是[2,3) C．x＋2y的最小值是4－3 D．x＋4y的最小值是3 15．已知a>0，b>0，c>1，a＋2b＝2，则c＋的最小值为( ) A． B．2 C．6 D． 16．某公司生产的某批产品的销售量p万件(生产量与销售量相等)与促销费用x万元满足p＝(其中0≤x≤a，a>0)．已知生产该批产品还需投入成本6万元(不含促销费用)，产品的销售价格定为元/件． (1)将该产品的利润y万元表示为促销费用x万元的函数； (2)设a>2，当促销费用投入多少万元时，该公司的利润最大？ 微练(四) 基本不等式 1．D 解析 易知只需比较a2＋b2与a＋b.由于a，b∈(0,1)，所以a21，故f(x)＝＝≤＝，当且仅当x＝，即x＝2时，取等号，故f(x)＝的最大值为.故选A. 3．C 解析 因为4＝2a＋b≥2，所以00，则y＝＋＋≥2＋＝，当且仅当＝，即x＝9时，等号成立，所以该设备年平均费用最少时的年限为9.故选C. 8．B 解析 由＋≥，得m≤(a＋3b)·＝＋＋6.又＋＋6≥2＋6＝12，所以m≤12，所以m的最大值为12，故选B. 9．CD 解析 对于A，当x<0时，<0，故A不一定成立；对于B,2x(1－x)＝－2x2＋2x＝－22＋≤，故B不一定成立；对于C，x2＋＝x2＋1＋－1≥2－1＝2－1，当且仅当x2＋1＝，即x2＝－1时取等号，故C一定成立；对于D，＋≥2＝2，当且仅当＝，即x＝1时取等号，故D一定成立．故选CD. 10．AC 解析 因为正实数a，b满足a＋b＝1，所以＋＝＋＝2＋＋≥2＋2＝4(当且仅当a＝b时取等号)，故＋有最小值4，故A正确；由基本不等式可得a＋b＝1≥2(当且仅当a＝b时取等号)，所以ab≤，故a ... ... 