5.3 实践与探索 教学设计 一、内容和内容解析 1. 内容 本节课选自华东师大版《义务教育教科书·数学》七年级下册第五章“一元一次方程”中的“5.3 实践与探索”，主要内容是通过一元一次方程解决三类实际问题：铁丝围长方形问题、年级捐款分配问题、师徒合作工程问题。学生需掌握根据数量关系设未知数、寻找等量关系列方程、解方程并验证结果合理性的完整建模过程。 2. 内容解析 本节是在学生已掌握一元一次方程解法的基础上，进一步学习如何将实际问题抽象为数学模型。通过分析周长固定时长与宽的关系、比例分配问题、合作工作效率问题，培养学生从具体情境中提取数学信息、建立等量关系的能力。这些问题是后续学习二元一次方程组、分式方程及函数应用的重要基础，突出数学建模思想在解决现实问题中的价值。 二、目标和目标解析 1. 目标 (1) 数学建模能力：能根据问题中的数量关系设未知数，准确列出方程。 (2) 逻辑推理能力：通过分析等量关系（如周长公式、比例分配、工作量之和），掌握解应用题的思维路径。 (3) 迁移应用能力：能解决变式问题（如改变比例、增减条件），并解释结果的合理性。 2. 目标解析 通过铁丝围长方形问题，学生体会固定周长下面积与边长的关系，理解“设元”的多样性（如设长或设宽），为后续优化问题埋下伏笔。在年级捐款问题中，学生需灵活处理比例与平均数的关系，提升多角度设元的能力。师徒合作问题则强调“工作量=效率×时间”的模型应用，为工程问题提供通用解法。最终，学生能独立完成“问题—方程—解———检验”的闭环，形成严谨的数学思维习惯。 三、教学问题诊断分析 找不准等量关系：部分学生难以从文字描述中提取关键数量关系（如“宽比长少4 cm”隐含“长－宽=4”）。 忽视实际约束：如铁丝围长方形时忽略“长、宽为正数”，或工程问题中忽略“合作效率叠加”。 处理比例能力弱：在变式训练中，若涉及比例（如体积比1:2），学生易混淆部分与整体的关系。 四、教学过程设计 (一) 情景引入 问题1 用一根长60 cm的铁丝围长方形。 (1) 若宽是长的 ，求长和宽； (2) 若宽比长少4 cm，求面积； (3) 比较(1)(2)中两个长方形的面积大小，还能围出更大面积吗？ 问题2 改为“宽比长少3 cm、2 cm、1 cm、0 cm”，面积如何变化？ 问题3 阅读材料：周长固定时，正方形面积最大。为什么？若用铁丝围成任意封闭图形，面积最大的是什么图形？ 设计意图： 通过生活实例（围铁丝）激发兴趣，引导学生从算术思维转向方程思维。问题(3)渗透“数形结合”思想，为后续函数最值问题做铺垫，对应目标(1)(2)。 (二) 合作探究1 探究1 新学年某校为灾区捐款，七年级占总数 ，八年级是三个年级的平均数，九年级捐1964元。求七、八年级捐款数。 追问： 设哪个量为未知数最简便？ “八年级是平均数”指什么？（总和÷3） 师生问答： 师：设总捐款为 元，则七年级捐多少？ 生：。 师：八年级是平均数，如何表示？ 生：。 师：九年级1964元，总捐款方程如何列？ 生：。 (三) 巩固练习1 问题： 某商品成本40元，售价60元；另一商品成本38元，售价54元。两商品共售出3000 kg，总利润4.2万元。若商品A每袋1 kg，商品B每袋2 kg，求各售出多少袋？ 解析： 设商品A售 袋，则商品B售 袋（注意单位统一）。 利润方程：。 答案：商品A售1000袋，商品B售1000袋。 问题： 师徒检修180 m管道，师傅每小时15 m，徒弟每小时10 m。合作需几小时完成？ 解析： 合作效率： m/h。 时间方程： → 小时。 答案：7.2小时。 (四) 合作探究2 探究2 师傅单独完成工程需4天，徒弟需6天。徒弟先做1天，再合作完成，总报酬900元按工作量分配，如何分？ 追问： 师徒工作效率各是多少？ 徒弟先做1天完成多少？剩余工作量如何计算？ 猜想： 徒弟效 ... ...
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