4.3 角的平分线 导讲练课件(共45张PPT) 2025-2026学年青岛版八年级数学上册

(课件网) 4.3 角的平分线 第四章 图形的轴对称 学习目标 课时讲解 1 课时流程 2 作一个角的平分线 角平分线的性质 角平分线的判定 逐点 导讲练 课堂小结 作业提升 知1－讲 感悟新知 知识点 作一个角的平分线 1 1. 角的对称性：角是轴对称图形，角的平分线所在的直线是它的对称轴。 感悟新知 知1－讲 特别解读 1. “大于 CD的长为半径画弧”是因为若以小于 CD的长为半径，则画出的两弧不能相交。 2. “画射线OP”不能叙述为“连接OP”，因为角平分线是射线而不是线段。 3.用尺规作一个角的平分线，实质上是运用 “SSS”构造全等三角形，根据全等三角形的对应角相等，找出平分一个角的射线。 感悟新知 2. 角平分线的作法 已知： ∠ AOB（如图 4.3-1）。 求作： ∠ AOB 的平分线。 作 法： (1)以 点 O 为 圆 心，以 适 当 的 长 为半径作弧，分别交这个角的两边于 C， D 两点； 知1－讲 “作一个角的平分线”也是基本作图 感悟新知 (2)分别以点 C， D 为圆心，以大于 CD的长为半径作弧，两条弧交于点 P； (3)作射线 OP。 OP 即为所求作的角平分线。 证明：如图 4.3-1，连接 PC， PD，根据前两步的作法可得OC=OD， PC=PD。 在△ OCP 和△ ODP 中， 所以△ OCP ≌ △ ODP（SSS）。 所以∠ AOP= ∠ BOP。所以 OP 平分∠ AOB。 知1－讲 知1－练 感悟新知 如 图 4.3-2，已 知 ∠ AOB，求 作： ∠ AOM = ∠ AOB。 例1 知1－练 感悟新知 解： 作法： (1)以点 O 为圆心，以适当长为半径作弧，交OA 于点 E，交 OB 于点 F； (2)分别以点 E， F 为圆心， 以大于 EF 的长为半径作弧， 两弧在∠ AOB 的内部交于点 C； (3)画射线 OC； (4)同理，作∠ AOC 的平分线 OM. ∠ AOM 即为所求作的角（如图 4.3-2）。 解题秘方：利用尺规作图作两次角平分线，可将已知角四等分。 知1－练 感悟新知 1-1.已知： ∠ AOB，如图所示，求作： ∠ AOB的邻补角的平分线（保留 作 图 痕 迹，不 写 作法）。 解：如图，射线OP即为所求．(答案不唯一) 感悟新知 知2－讲 知识点 角平分线的性质 2 1. 性质定理： 角平分线上的点到角两边的距离相等 。 角平分线的性质的两个必要条件 (1)点在角平分线上； (2) 这 个 点 到 角 两 边 的 距 离 即 点 到 角 两 边 的 垂 线 段 的长度。两者缺一不可。 感悟新知 知2－讲 2. 几何语言： 如图 4.3-3， 因为 OP 平分∠ AOB， PE ⊥ OA 于点 E， PF ⊥ OB 于点 F， 所以 PE=PF。 只要符合基本模型，直 接得出结论,不需要证全等 知2－讲 感悟新知 特别提醒 1.角平分线的性质是由两个条件(角平分 线，垂 线)得 到一个结论(线段相等)。 2.利用角平分线的性质证明线段相等时，证明的线段是“垂直 于 角 两 边 的 线段”， 如图4.3-4①所示，而不是“垂直于角平分线的线段”，如图4.3-4②所示。 感悟新知 知2－练 [期 中· 青 岛 李 沧 区]如 图 4.3-5， OD 平 分 ∠ EOF，在OE， OF 上 分 别 取 点 A， B，使 OA=OB， P 为 OD 上 一 点，PM ⊥ BD， PN ⊥ AD，垂足分别为 M， N。求证： PM=PN。 例2 知2－练 感悟新知 解题秘方：在图中找出能利用角平分线性质的模型，利用角平分线的性质可证明线段相等。 证明： 因为 OD 平分∠ EOF，所以∠ BOD= ∠ AOD。 在△ BOD 和△ AOD 中， 所以△ BOD ≌ △ AOD（SAS）。 所以∠ BDO= ∠ ADO。所以 DO 平分∠ BDA。 又因为 P 为 DO 上一点，且 PM ⊥ DB， PN ⊥ DA， 所以 PM=PN。 知2－练 感悟新知 2-1. [期中·济宁任城区] 如 图，已 知 ∠ AOB=90°， OM是∠ AOB的平分线，三角尺的直角顶 点 P 在 射 线 OM 上滑动，两直角边分别与OA， OB交于点C， D。求证： PC=PD。 证明：如图，过点P分别作PE⊥OB于点E， PF⊥OA于点F，则 ... ...