参考答案 一、单项选择题（共8题，共40分） 1. 【答案】D 【解析】因为 ． 故选D． 2. 【答案】D 【解析】因为 ， 所以 ， 又因为 ， 所以 ． 又 ， 所以 ， 所以数列 是以 为首项， 为公差的等差数列， 所以 ， 所以 ． 3. 【答案】A 4. 【答案】C 【解析】解法一：设函数 的最小正周期为 ，由题图可得 且 ， 所以 ， 又因为 ， 所以 ． 由题图可知 ，且 是函数 的上升零点， 所以 ， 所以 ， 所以 ， 又因为 ， 所以 ， 所以 ， 所以 ． 解法二（五点法）：由函数 的图象知， ，解得 ， 所以函数 的最小正周期为 ． 5. 【答案】D 【解析】如图，连接 ，， 由 ， 分别为 ， 的中点知 ． 因为 ，， 所以 ，故A正确． 易知 ，， 所以 ． 又 ， 所以 ，故B正确． 易知 与平面 所成的角即为 与平面 所成的角，为 ，故C正确． 易知 与 所成角即为 与 所成角，为 ，故D错误．故选D． 6. 【答案】C 【解析】（）当 ，曲线 是圆， 与 有 个交点，不合． （）当 时，曲线 是 条平行 轴的直线，此时 与 有 个交点，符合． （）当 时，曲线 是焦点在 轴上椭圆，此时 与 有 个交点，符合． （）当 时，曲线 是焦点在 轴上椭圆，此时 与 有 个交点，不合． （）当 时，曲线 是双曲线，此时要使渐近线斜率 ，所以 ． （）当 时，曲线 是等轴双曲线，渐近线斜率 ，正好两交点，符合． 所以综上所述，． 7. 【答案】A 8. 【答案】B 【解析】若对任意的实数 都有 成立， 则函数 在 上为减函数， 因为函数 ， 故 解得：． 二、多项选择题（共3题，共18分） 9. 【答案】B；C 【解析】由 得 ， 所以焦点坐标 ， 对A，直线 的方程为 ， 由 得 ， 所以 ， 所以 ； 故A错误． 因为 ， 所以 ，则直线 ， 的斜率斜率分别为 ，， 所以 ，， 由 解得 即 ． 由题意知，直线 的斜率存在，可设直线 的方程为 ， 由 消去 得 ， 所以 ，，故D错误． 又 ，故C正确． 对B，当 的斜率为 时，，故 ， 故D正确． 故选：BC． 10. 【答案】A；C 【解析】由 得 ，则 ， 即 ， 设 ， ，， 即 在 单调递增，在 单调递减， 即当 时，函数 取得极小值 ． 故选：AC． 11. 【答案】A；C；D 【解析】 ，画出函数图象，如图所示： 根据图象知：函数 的最小正周期为 ；函数 在 上先增后减；函数 的图象关于直线 对称；函数 的值域是 ． 三、填空题（共3题，共15分） 12. 【答案】 ； 【解析】由已知，． 因为 ， 所以 ， ， ， 所以以上 个式子累加可得，， 因为 ，所以 ． 13. 【答案】 ； 【解析】因为 在 上是奇函数， 所以 ， 所以 ． 又因为 为奇函数，， 所以 ， 所以 ， 所以 ， ， ， 满足奇函数条件，综上 ，． 14. 【答案】 【解析】因为六名同学排成一排合影，要求同学校的同学相邻， 所以由捆绑法，可得 ． 四、解答题（共5题，共77分） 15. 【答案】 (1) 记“取出的 张卡片上的数字互不相同”为事件 ，则 ． (2) 随机变量 的可能取值为 ，，，． ，， ，， 所以随机变量 的分布列为 16. 【答案】 (1) 因 ，故 ， 令 ，得 ，由已知 ，解得 ， 又令 ，得 ，由已知 ，解得 ， 因此 ，从而 ， 又因为 ，故曲线 在点 处的切线方程为 ，即 ． (2) 由（Ⅰ）知，，从而有 ， 令 ，解得 ，， 当 时，，故 在 为减函数； 当 时，，故 在 为增函数； 当 时，，故 在 为减函数； 从而函数 在 处取得极小值 ，在 处取得极大值 ． 17. 【答案】 (1) 由题设，得 解得 ，． 所以椭圆 的方程为 ． (2) 由题意，设直线 的方程为 ． 由 得 ． 由 ，得 ． 设 ，，则 ，． ①当 时，直线 的方程为 ． 令 ，得点 的横坐标 ． 同理可得点 的横坐标 ． 因为 ， 所以 ． 所以 为 的中点． ②当 时，，． 直线 的方程为 ，可求得 ． 所以直线 的方程为 ，从而 ． 此时依然有 ． 综上， 为 的 ... ...
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