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课件网) 16.3 乘法公式 16.3.2 完全平方公式 人教版 数学 八年级 上册 现有如图所示的三种规格的硬纸片各若干张,请你根据二次三项式a2+2ab+b2,选取相应种类和数量的硬纸片,拼出一个正方形,并探究所拼出的正方形的代数意义. 导入新知 2. 灵活应用完全平方公式进行计算. 1. 理解并掌握完全平方公式的推导过程、结构特点、几何解释. 素养目标 3. 体验归纳添括号法则. 一块边长为a米的正方形实验田，因需要将其边长增加 b 米.形成四块实验田，以种植不同的新品种(如图). 用不同的形式表示实验田的总面积， 并进行比较. a a b b 直接求：总面积=(a+b)(a+b) 间接求：总面积=a2+ab+ab+b2 你发现了什么？ (a+b)2=a2+2ab+b2 探究新知 知识点 1 完全平方公式 计算下列多项式的积，你能发现什么规律？ (1) (p+1)2=(p+1)(p+1)= . p2+2p+1 (2) (m+2)2=( )( )= . m2+4m+4 (3) (p–1)2=( )( )= . p2–2p+1 (4) (m–2)2=( )( )= . m2–4m+4 根据你发现的规律，你能写出下列式子的答案吗？ (a+b)2= . a2+2ab+b2 (a–b)2= . a2–2ab+b2 探究新知 问题1： 问题2： m+2 m+2 p-1 p-1 m-2 m-2 (a+b)2= . a2+2ab+b2 (a–b)2= . a2–2ab+b2 也就是说，两个数的和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们的积的2倍.这两个公式叫作(乘法的)完全平方公式. 简记为： “首平方，尾平方，积的2倍放中央” 探究新知 完全平方公式 你能根据下面图形的面积说明完全平方公式吗 探究新知 设大正方形ABCD的面积为S. S= (a+b)2 a2+b2+2ab S1 S2 S3 S4 探究新知 证明 A D C B =S1+S2+S3+S4= . a a b b = + + + a2 ab ab b2 (a+b)2= . a2+2ab+b2 和的完全平方公式： 探究新知 几何解释 a2 ab b(a b) = a2 2ab+b2 . = (a b)2 a b a b a a ab b(a b) b b (a b)2 (a–b)2= . a2–2ab+b2 差的完全平方公式： 探究新知 几何解释 (a+b)2= a2+2ab+b2. (a–b)2= a2–2ab+b2. 观察下面两个完全平方式，比一比，回答下列问题： (1) 说一说积的次数和项数. (2) 两个完全平方式的积有相同的项吗？与a，b有什么关系？ (3) 两个完全平方式的积中不同的是哪一项？与a， b有什么关系？它的符号与什么有关？ 探究新知 问题4： 公式特征： 公式中的字母a，b可以表示数、单项式和多项式. 积为二次三项式； 积中两项为两数的平方和； 另一项是两数积的2倍，且与两数中间的符号相同. 探究新知 下面各式的计算是否正确？如果不正确，应当怎样改正？ (1)(x+y)2=x2 +y2 (2)(x –y)2 =x2 –y2 (3) (–x +y)2 =x2+2xy +y2 (4) (2x+y)2 =4x2 +2xy +y2 × × × × (x +y)2 =x2+2xy +y2 (x –y)2 =x2 –2xy +y2 (–x +y)2 =x2 –2xy +y2 (2x +y)2 =4x2+4xy +y2 探究新知 想一想 例1 运用完全平方公式计算： 解: (4m+n)2= =16m2 (1)(4m+n)2； (a + b)2= a2 + 2ab + b2 (4m)2 +2 (4m) n +n2 +8mn +n2； 素养考点 1 利用完全平方公式进行计算 探究新知 (2) (a –b)2 = a2– 2ab + b2 y2 =y2 –y + 解： = + –2 y 利用完全平方公式计算： (1)(5–a)2； (2)(–3m–4n)2； (3)(–3a＋b)2. (3)(–3a＋b)2＝9a2–6ab＋b2. 解：(1)(5–a)2＝25–10a＋a2. (2)(–3m–4n)2＝9m2＋24mn＋16n2. 巩固练习 (1) 1022； = (100 –1)2 =10000–200+1 解： 1022 = (100+2)2 =10000+400+4 =10404. (2) 992. 992 =9801. 例2 运用完全平方公式计算： 方法总结：当一个数具备与整十、整百相差一个正整数时求它的平方，我们可以通过变形运用完全平方公式进行运算较简便． 素养考点 2 利用完全平方公式进行简便计算 探究新知 利用乘法公式计算： (1)982–101×99； (2)20252–2025×4048＋20242. ＝(2025–2024)2＝1. 解：(1)原式＝(100–2)2–(100＋1) ... ...
