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课件网) 第二章 3.1 向量的数乘运算 3.2 向量的数乘与向量共线的关系 基础落实·必备知识一遍过 重难探究·能力素养速提升 目录索引 学以致用·随堂检测促达标 课程标准 1.理解向量数乘运算的定义及几何意义. 2.掌握向量数乘的运算律,能够用已知向量表示未知向量. 3.掌握共线(平行)向量基本定理,会判断或证明两个向量共线. 4.了解直线的向量表示,会证明三点共线. 基础落实·必备知识一遍过 知识点一 向量的数乘运算 1.向量的数乘的概念 实数λ与向量a的乘积是一个向量,记作λa,满足以下条件: (1)当λ>0时,向量λa与向量a的方向相同; 当λ<0时,向量λa与向量a的方向相反; 当λ=0时,λa=0. 能使λa=0的情况还有λ∈R,a=0 (2)|λa|=|λ||a|. 这种运算称为向量的数乘. 2.向量的数乘的几何意义 如图,由实数与向量数乘λa的定义可以看出,它的几何意义是:当λ>0时,表示向量a的有向线段在原方向伸长或缩短为原来的|λ|倍;当λ<0时,表示向量a的有向线段在反方向伸长或缩短为原来的|λ|倍. 3.单位向量 由向量的数乘定义容易推出,在非零向量a方向上的单位向量是 . 名师点睛 1.实数与向量可以进行数乘运算,其结果是一个向量,不是实数;但实数与向量不能进行加、减法运算,如λ+a,λ-a是错误的. 2.对于任意非零向量a,向量 是与向量a方向相同的单位向量.向量- 是与向量a方向相反的单位向量. 思考辨析 已知非零向量a,向量-3a与向量3a的大小和方向有什么关系 提示 向量-3a与向量3a大小相等,方向相反,互为相反向量. 自主诊断 1.判断正误.(正确的画“√”,错误的画“×”) (1)已知实数λ与向量a,则λ+a与λ-a的和是向量.( ) (2)对于非零向量a,向量-3a与向量a方向相反.( ) (3)对于非零向量a,向量-6a的模是向量3a的模的2倍.( ) 2.已知向量a=-2e,b= e(e为单位向量),则向量a与向量b( ) A.不共线 B.方向相反 C.方向相同 D.|a|>|b| × √ √ 故向量a与向量b共线反向.故选B. B 知识点二 数乘运算的运算律 1.数乘运算的运算律 设λ,μ为实数,a,b为向量,那么根据向量的数乘定义,可以得到以下运算律: (1)(λ+μ)a=λa+μa; (2)λ(μa)=(λμ)a; (3)λ(a+b)=λa+λb. 2.向量的线性运算 向量的加法、减法和数乘的综合运算,通常称为向量的线性运算(或线性组合). 若一个向量c由向量a,b的线性运算得到,如c=2a+3b,则称向量c可以用向量a,b线性表示. 名师点睛 1.(-λ)a=-(λa)=λ(-a),λ(a-b)=λa-λb. 2.对于任意向量a,b以及任意实数λ,μ1,μ2,恒有λ(μ1a±μ2b)=λμ1a±λμ2b. 思考辨析 若λa=μa,能否得到λ=μ 提示 不一定.由λa=μa,得(λ-μ)a=0,若a为非零向量则λ=μ,若a为零向量则λ与μ不一定相等. 自主诊断 1.判断正误.(正确的画“√”,错误的画“×”) (1)向量的数乘运算不是线性运算.( ) (2)若x是未知向量,且3x-2(x-a)=0,则x=-2a.( ) (3)若λb=λa,则定有b=a.( ) (4)若λa-μa=0,则λ=μ.( ) × √ × × 2.将 [2(2a+8b)-4(4a-2b)]化简成最简式为( ) A.2a-b B.2b-a C.a-b D.b-a B 3.(多选)已知实数m,n和向量a,b,下列结论中正确的是( ) A.m(a-b)=ma-mb B.(m-n)a=ma-na C.若ma=mb,则a=b D.若ma=na(a≠0),则m=n ABD 解析 对于A选项,m(a-b)=ma-mb,A正确; 对于B选项,(m-n)a=ma-na,B正确; 对于C选项,若ma=mb,则m(a-b)=0,所以,m=0或a=b,C错误; 对于D选项,若ma=na(a≠0),则(m-n)a=0,所以,m-n=0,即m=n,D正确. 故选ABD. 知识点三 共线(平行)向量基本定理 此条件不可缺少 给定一个非零向量b,则对于任意向量a,a∥b的充要条件是存在唯一一个实数λ,使a=λb. 名师点睛 1.向量共线的条件:当向量b=0时,b与任意向量a共线.当b≠0时 ... ...
