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课件网) 第四章 2.1 对数的运算性质 2.2 换底公式 基础落实·必备知识一遍过 重难探究·能力素养速提升 目录索引 学以致用·随堂检测促达标 课程标准 1.理解对数的运算性质,并能运用运算性质化简、求值. 2.能用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数. 3.能用对数的运算性质和换底公式进行一些简单的化简和证明. 基础落实·必备知识一遍过 知识点1 对数的运算性质 可以推广到真数为有限多个正因数相乘的情形,即loga(N1·N2·…·Nk) =logaN1+logaN2+…+logaNk(k≥2,k∈N+) 条件 a>0,且a≠1,M>0,N>0,b∈R 性质 (1)loga(M·N)=logaM+logaN (2)loga =logaM-logaN (3)logaMb=blogaM 名师点睛 1.会用语言准确地叙述运算性质,如loga(M·N)=logaM+logaN叙述为“两个正数乘积的对数等于这两个正数同底的对数之和”或“两个正数同底的对数之和等于这两个正数乘积的对数”. 2.熟练掌握对数运算性质的逆向使用:逆向应用对数运算性质,可将几个对数式化为一个对数式,有利于化简求值.例如: log23+log2 =log2(3× )=log24=2. 思考辨析 若MN>0,运算法则“loga(MN)=logaM+logaN”还成立吗 提示 不一定成立.例如对于(-2)×(-3)>0,loga[(-2)×(-3)]≠loga(-2)+loga(-3), loga(-2)和loga(-3)没有意义. 自主诊断 1.判断正误.(正确的画√,错误的画×) (1)logaxy=logax+logay(a>0且a≠1).( ) (2)log2(-4)2=2log2(-4).( ) (3)logaxy=logax·logay(a>0且a≠1).( ) × × × 2.[人教A版教材例题]求下列各式的值: (2)log2(47×25)=log247+log225=7log24+5log22=7×2+5×1=19. 3.[人教B版教材例题]用logax,logay,logaz表示下列各式: (2)loga(x3y5)=logax3+logay5=3logax+5logay. 知识点2 换底公式 一般地,若a>0,b>0,c>0,且a≠1,c≠1,则logab= .这个结论称为对数的换底公式. 名师点睛 1.换底公式的意义就在于把对数式的底数改变,把不同底问题转化为同底问题进行化简、计算和证明.换底公式在实际应用中究竟换成以什么为底,要由具体已知的条件来确定,一般换成以10为底的常用对数. 思考辨析 下列三个等式是否成立 提示 均成立. 自主诊断 1.log29×log34= . 2.log35·log56·log69= . 4 2 3.[人教A版教材例题]尽管目前人类还无法准确预报地震,但科学家通过研究,已经对地震有所了解,例如,地震时释放出的能量E(单位:焦耳)与地震里氏震级M之间的关系为lg E=4.8+1.5M.2011年3月11日,日本东北部海域发生里氏9.0级地震,它所释放出来的能量是2008年5月12日我国汶川发生里氏8.0级地震的多少倍(精确到1) 解 设里氏9.0级和8.0级地震的能量分别为E1和E2. 由lg E=4.8+1.5M,可得lg E1=4.8+1.5×9.0, lg E2=4.8+1.5×8.0. 于是,lg =lg E1-lg E2=(4.8+1.5×9.0)-(4.8+1.5×8.0)=1.5. 利用计算工具可得, =101.5≈32. 虽然里氏9.0级地震与里氏8.0级地震仅相差1级,但前者释放出来的能量却是后者的约32倍. 重难探究·能力素养速提升 探究点一 对数运算性质的应用 【例1】 计算下列各式的值: (3)(lg 5)2+2lg 2-(lg 2)2. (2)原式=log5(5×7)-2(log57-log53)+log57-log5=log55+log57-2log57 +2log53+log57-2log53+log55=2log55=2. (3)原式=(lg 5)2+lg 2(2-lg 2)=(lg 5)2+(1+lg 5)×lg 2=(lg 5)2+lg 2×lg 5+lg 2 =(lg 5+lg 2)×lg 5+lg 2=lg 5+lg 2=1. 规律方法 对于底数相同的对数式的化简、求值常用的方法 收 将同底的两个对数的和(差)收成积(商)的对数 拆 将积(商)的对数拆成对数的和(差). 对数式的化简、求值一般是正用或逆用公式,要养成正用、逆用、变形应用公式的习惯.lg 2+lg 5=1在计算对数值时会经常用到,同时注意各部分变形要化到最简形式 变式训练1计算下列各式的值: (3) ... ...
