3.5 认识二元一次方程组 教案 2025-2026学年湘教版数学七年级上册

中小学教育资源及组卷应用平台 3.5 认识二元一次方程组 课型：新授课 1.认识二元一次方程和二元一次方程组，能根据简单的实际问题列二元一次方程组，体会二元一次方程和二元一次方程组都是反映数量关系的重要数学模型.同时培养学生探究创新的精神，增强合作交流的意识. 2.了解二元一次方程和二元一次方程组的解，会检验所给的一对未知数的值是否为二元一次方程或二元一次方程组的解. 【教学重点】理解二元一次方程、二元一次方程组及其解的意义. 【教学难点】理解二元一次方程、二元一次方程组及其解的意义. 为进一步推动全民健身，弘扬体育精神，凝聚奋进力量，某地区举办了一次中学生足球联赛. 比赛规则为：胜一场得 3 分，平一场得 1 分，负一场得0分. 若某校初中男子足球队参加了 14 场比赛，负了5场，共得 19 分.问：该队胜多少场？平多少场？ 前面我们是用一元一次方程来解决这个问题。求两个量，能否设两个未知数解决？ 分析题意，可知其中蕴含了以下等量关系： ① 胜的场数+平的场数+负的场数=总场数 ② 胜的场数得分+平的场数得分=总得分 若设胜x 场，平 y 场，你能根据两个等量关系列出两个方程吗？列出的方程还是一元一次方程吗？ ① x＋y＝9 ② 3x＋y＝19 像这样含有两个未知数，并且含未知数的项的次数都是1的整式方程叫作二元一次方程. 注意：二元一次方程的三个要素 (1)含有两个未知数; (2)“一次”是指含未知数的项的次数是 1，而不是未知数的次数，如含有 xy 项的方程就不是一次方程； (3)方程的左右两边都是整式. 例1 判断下列方程是否为二元一次方程： （1）4y-3z=z+6；（2）2y-π=3；（3）x2+2y=0； （4）x=；（5）2x2+2x+y==2x2；（6）4-xy=1. 总结：判断要点： ①是否为整式方程；②是否含两个未知数；③含未知数的项次数是否为 1；④化简后一次项的系数不为 0. 例2 已知 |m－1| x|m|＋y2n－1 ＝ 3 是关于 x、y 的二元一次方程，则 m＋n ＝_____． 如何解决上述球赛问题呢？ 未知数x，y必须同时满足上述两个方程，即两个方程需要同时成立，于是将两个方程联立，得 像这样只含有两个未知数，并且含未知数的项的次数都是1的方程组叫作二元一次方程组. 含有相同未知数的两个二元一次方程组成的就是一个二元一次方程组. 把满足方程①，且符合问题的实际意义的x，y的值填入下表： 由上表可知，x = 1，y = 8；x = 2，y = 7；…；x = 8，y = 1都能使方程x + y = 9 两边的值相等，因而它们都是方程 x + y = 9 的解 . 思考1 如果不考虑方程表示的实际意义，还可以取哪些值？这些值是有限的吗？ 思考2 上述表格中是否存在同时满足方程①和方程②的值呢？ x = 5，y = 4 既满足方程①，又满足方程②.也就是说，x = 5，y = 4是方程①与方程②的公共解 . 使二元一次方程左右两边的值相等的两个未知数的值，叫作二元一次方程的解. 一般地，一个二元一次方程有无数组解. 对于未知数为 x，y 的二元一次方程组，若 x，y 分别用数 c1，c2 代入，能使每个方程左右两边的值相等，则把 (c1，c2) 叫作这个方程组的一个解.记作求方程组的解的过程叫作解方程组。 一般地，一个二元一次方程组只有一个解。 若是关于 x、y 的方程 x－ky = 1 的解，则 k 的值为 . 例3 小玲在文具店买了 3 本练习本，2 支圆珠笔，共花去 17 元，其中购买练习本比圆珠笔多花 1 元. (1) 设练习本的单价是 x 元，圆珠笔的单价是 y 元，试列出相应的二元一次方程组. (2) 是列出的二元一次方程组的一个解吗？ 课堂练习 1.判断下列方程是否为二元一次方程： (1) 3x+ 1 (2) 4x+ π =0 (3) 3 - 2xy =1 (4) 3y-2x =z+5 (5) 2x=1-3y （6） 2.下列各个方程组中，属于二元一次方程组的是( ). 3.一艘轮船顺流航行的速度为24km/h，逆流航行的速度为18 km/h. 它在静水 ... ...