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课件网) 第五章 4.1 二项式定理的推导 基础落实·必备知识一遍过 重难探究·能力素养速提升 学以致用·随堂检测促达标 目录索引 课程标准 1.能用多项式运算法则及基本计数原理证明二项式定理. 2.掌握二项式定理及其展开式的通项. 3.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题. 基础落实·必备知识一遍过 知识点 二项式定理 二项式定理问题往往利用通项解决 (k+1) 名师点睛 1.展开式的特点:(1)展开式共有n+1项,各项中a,b的指数和都是n;(2)a按降幂排列,指数由n逐项减1直到0;b按升幂排列,指数由0逐项加1直到n. 2.二项式定理表示一个恒等式,对于任意的a,b,该等式都成立.通过对a,b取不同的特殊值,可使某些问题的解决更为方便.二项式定理通常还有如下三种常见变形. 4.二项展开式的通项中b的指数和组合数的上标相同,a与b的指数之和为n. 5.二项展开式的通项体现了二项展开式的项数、系数、a与b的指数的变化规律,是二项式定理的核心,它在求展开式的某些特定项(如含指定幂的项、常数项、中间项、有理项、系数最大项等)及系数等方面有着广泛的应用. 思考辨析 1.在初中,我们用多项式乘法法则得到了(a+b)2的展开式: (a+b)2=(a+b)(a+b)=a×a+a×b+b×a+b×b=a2+2ab+b2.试用分步乘法计数原理解释上述展开过程. 提示 从上述过程可以看到,(a+b)2是2个(a+b)相乘,根据多项式乘法法则,每个(a+b)在相乘时有两种选择,选a或选b,而且每个(a+b)中的a或b都选定后,才能得到展开式的一项.于是,由分步乘法计数原理,在合并同类项之前,(a+b)2的展开式共有2×2=22(项),而且每一项都是a2-kbk(k=0,1,2)的形式.而且a2-kbk相当于从2个(a+b)中取k个b的组合数 ,即a2-kbk的系数是 . 2.你能根据上述问题的分析,写出(a+b)3的展开式吗 类比上面的写法,你能写出(a+b)n的展开式吗 自主诊断 1.判断正误.(正确的画√,错误的画×) (1)(a+b)n的展开式中共有n项.( ) (2) an-kbk是(a+b)n展开式中的第k项.( ) (3)在公式中,交换a,b的顺序对各项没有影响.( ) (4)(a-b)n与(a+b)n的二项式展开式的二项式系数相同.( ) × × × √ 2. 展开式中的常数项为( ) A.80 B.-80 C.40 D.-40 C 3.[苏教版教材例题]利用二项式定理展开下列各式: (1)(a-b)6; 重难探究·能力素养速提升 探究点一 二项式定理的正用、逆用 规律方法 1.形式简单的二项式展开时可直接利用二项式定理展开,对于形式较复杂的二项式,在展开之前可以根据二项式的结构特点进行必要的变形,然后再展开,以使运算得到简化.记准、记熟二项式(a+b)n的展开式是正确解答与二项式定理有关的问题的前提. 2.逆用二项式定理要注意二项展开式的结构特点,a的指数是从高到低,b的指数是从低到高,a,b的指数和都相等,如果项的系数是正负相间,那么是(a-b)n的形式. ★(2)化简:(2x+1)5-5(2x+1)4+10(2x+1)3-10(2x+1)2+5(2x+1)-1. 探究点二 二项式通项的应用 角度1.二项式系数与项的系数 (1)二项展开式第4项的二项式系数; (2)二项展开式第4项的系数; (3)二项展开式的第4项. 规律方法 1.二项式系数都是组合数 (k∈{0,1,2,…,n}),它与二项展开式中某一项的系数不一定相等,要注意区分“二项式系数”与二项展开式中“项的系数”这两个概念. 2.第k+1项的系数是此项字母前的数连同符号,而此项的二项式系数为 . (1)求n的值; (2)求展开式中含x3的项,并指出该项的二项式系数. 角度2.求二项展开式中的特定项 求:(1)展开式中第四项; (2)展开式中有理项的系数和. 规律方法 求二项展开式的特定项的常用方法 160 ①若该二项式的展开式中前三项的系数成等差数列,求正整数n的值; ②在①的条件下,求展开式中x4项的系数. 角度3.多项式展开问题 【例4 ... ...
