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课件网) 第六章 3.2 离散型随机变量的方差 基础落实·必备知识一遍过 重难探究·能力素养速提升 学以致用·随堂检测促达标 目录索引 课程标准 1.通过具体实例理解离散型随机变量的方差及标准差的概念和实际意义. 2.会用方差解决一些实际问题. 基础落实·必备知识一遍过 知识点 离散型随机变量的方差、标准差 注意两个概念的区别与联系 1.定义 若离散型随机变量X的分布列如下表: X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 方差 标准差 2.意义 随机变量的方差DX和标准差σX都反映了随机变量的取值偏离于均值的平均程度.方差(标准差)越小,则随机变量偏离于均值的平均程度越小;反之,方差(标准差)越大,则随机变量的取值越分散. 名师点睛 特例 方差 意义 a=0 Db=0 常数的方差等于0 a=1 D(X+b)=DX 随机变量与常数之和的方差与随机变量的方差相同 b=0 D(aX)=a2DX 常数与随机变量的乘积的方差是随机变量的方差的a2倍 若X是随机变量,Y=aX+b也是随机变量,则DY=D(aX+b)=a2DX. 思考辨析 1.甲、乙两个工人生产同一产品,在相同的条件下,他们生产100件产品中的不合格产品数分别用X,Y表示,X,Y的分布列如下: X 0 1 2 3 P 0.6 0.2 0.1 0.1 Y 0 1 2 3 P 0.5 0.3 0.2 0 如何比较甲、乙两人的技术高低 提示 EX=0×0.6+1×0.2+2×0.1+3×0.1=0.7, EY=0×0.5+1×0.3+2×0.2+3×0=0.7,它们的均值相等,只根据均值无法区分甲、乙两人的技术高低,可以根据样本方差区分,方差刻画了样本数据的稳定性. 2.随机变量ξ的期望与方差的关系是什么 你能给出证明吗 自主诊断 1.判断正误.(正确的画√,错误的画×) (1)离散型随机变量的方差越大,随机变量越稳定.( ) (2)若a是常数,则Da=0.( ) (3)离散型随机变量的方差反映了随机变量偏离于期望的平均程度.( ) (4)标准差与随机变量本身有相同的单位,在实际问题中应用广泛. ( ) × √ √ √ 2.设离散型随机变量X的分布列为 X -1 0 1 P 若Y=2X+2,则DY等于( ) D 3.[人教A版教材习题]甲、乙两个班级同学分别目测数学教科书的长度,其误差X和Y(单位:cm)的分布列如下: 甲班的目测误差分布列 X -2 -1 0 1 2 P 0.1 0.2 0.4 0.2 0.1 乙班的目测误差分布列 Y -2 -1 0 1 2 P 0.05 0.15 0.6 0.15 0.05 先直观判断X和Y的分布哪一个离散程度大, 再分别计算X和Y的方差,验证你的判断. 解 直观判断X的分布离散程度较大. 由题意,得EX=EY=0, ∴DX=(-2)2×0.1+(-1)2×0.2+0×0.4+12×0.2+22×0.1=1.2, DY=(-2)2×0.05+(-1)2×0.15+0×0.6+12×0.15+22×0.05=0.7, ∴EX=EY且DX>DY, ∴X的分布离散程度比Y大. 重难探究·能力素养速提升 探究点一 求离散型随机变量的方差 【例1】 袋中有20个大小相同的球,其中记为0号的有10个,记上n号的有n个(n=1,2,3,4).现从袋中任取一球,ξ表示所取球的标号,求ξ的分布列、均值和方差. 变式探究在本例条件下,若η=aξ+b,Eη=1,Dη=11,试求a,b的值. 解 由D(aξ+b)=a2Dξ=11, E(aξ+b)=aEξ+b=1,及Eξ=1.5,Dξ=2.75, 得2.75a2=11,1.5a+b=1, 解得a=2,b=-2或a=-2,b=4. 规律方法 1.求离散型随机变量X的方差的步骤 2.对于变量间存在关系的方差,在求解过程中应注意方差性质的应用,如D(aξ+b)=a2Dξ,这样处理既避免了求随机变量η=aξ+b的分布列,又避免了繁杂的计算,简化了计算过程. 变式训练1甲、乙两人进行定点投篮游戏,投篮者若投中,则继续投篮,否则由对方投篮,第一次由甲投篮;已知每次投篮甲、乙命中的概率分别为 在前3次投篮中,乙投篮的次数为ξ,求ξ的分布列、均值和方差. 探究点二 方差的实际应用 【例2】 甲、乙两名工人加工同一种零件,两人每天加工的零件数相等,所得次品数分别为ξ,η,ξ和η的分布列如下: 试对这两名工人的 ... ...
