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课件网) 第1章 3.2 第1课时 等比数列前n项和的推导及初步应用 基础落实·必备知识一遍过 重难探究·能力素养速提升 学以致用·随堂检测促达标 目录索引 课程标准 1.掌握等比数列的前n项和公式的推导方法. 2.掌握等比数列的前n项和公式,理解等比数列的通项公式与前n项和公式的关系,能够运用公式解决相关问题. 3.理解并掌握错位相减法求数列前n项和的方法及应用. 基础落实·必备知识一遍过 知识点1 等比数列的前n项和公式 对首项为a1,公比为q(q≠0)的等比数列{an},它的前n项和 名师点睛 1.运用等比数列前n项和公式时先要确定公比q是否等于1. 2.当q≠1时,等比数列的前n项和Sn有两个求解公式:当已知a1,q,n时,用 思考辨析 1.若等比数列{an}的公比q不为1,其前n项和为Sn=Aqn+B,则A与B有什么关系 提示 A=-B. 2.等比数列{an}的前n项和公式中涉及a1,an,n,Sn,q五个量,已知几个量才可以求其他量 提示 三个. 自主诊断 1.判断正误.(正确的画√,错误的画×) (3)等比数列前n项和不可能为0.( ) √ × × 2.[人教B版教材例题]已知等比数列{an}的公比q= ,a8=1,求这个数列前8项的和S8. 知识点2 错位相减法 1.推导等比数列前n项和的方法叫错位相减法. 该方法使用时注意两和式中项的对应以公比的幂次一致为标准 2.该方法一般适用于求一个等差数列与一个等比数列对应项积的前n项和,即若{bn}是公差d≠0的等差数列,{cn}是公比q≠1的等比数列,求数列{bn·cn}的前n项和Sn时,也可以用这种方法. 思考辨析 如果Sn=a1+a2q+a3q2+…+anqn-1,其中{an}是公差为d的等差数列,q≠1.两边同乘以q,再两式相减会怎样 提示 Sn=a1+a2q+a3q2+…+anqn-1,① qSn=a1q+a2q2+…+an-1qn-1+anqn,② ①-②,得(1-q)Sn=a1+(a2-a1)q+(a3-a2)q2+…+(an-an-1)qn-1-anqn =a1+d(q+q2+…+qn-1)-anqn. 同样能转化为等比数列求和. 过关自诊 1.判断正误.(正确的画√,错误的画×) (1)已知数列{an}的前n项和为Sn,若an=n+2n,在求Sn时可用错位相减法求和. ( ) (2)已知数列{an}的前n项和为Sn,若an=n·2n,在求Sn时可用错位相减法求和. ( ) × √ 重难探究·能力素养速提升 探究点一 等比数列前n项和公式的直接运用 【例1】 (1)求下列等比数列前8项的和: 规律方法 求等比数列前n项和,要确定首项、公比或首项、末项、公比,应特别注意q=1是否成立. 变式训练1(1)求数列{(-1)n+2}的前100项的和; ★(2)在14与 之间插入n个数,组成所有项的和为 的等比数列,求此数列的项数. 探究点二 根据等比数列的前n项和求基本量 【例2】 一个等比数列{an},a1+a3=10,a4+a6= ,求a4和S5. 变式探究设数列{an}是等比数列,其前n项和为Sn,且S3=3a3,求此数列的公比q. 变式训练2在等比数列{an}中,a1=1,a5=4a3. (1)求数列{an}的通项公式; (2)记Sn为数列{an}的前n项和,若Sm=63,求m. 解 (1)设{an}的公比为q,由题设得an=qn-1. 由已知得q4=4q2,解得q=0(舍去),q=-2或q=2. 故an=(-2)n-1或an=2n-1. 由Sm=63,得(-2)m=-188,此方程没有正整数解. 若an=2n-1,则Sn=2n-1. 由Sm=63,得2m=64,解得m=6. 综上,m=6. 探究点三 利用错位相减法求数列的前n项和 【例3】 求数列 的前n项和. 变式探究将例3改为“求数列 ,…的前n项和.”情况又如何 规律方法 错位相减法求和的解题策略 变式训练3已知数列{an}是首项、公比都为5的等比数列, bn=anlog25an(n∈N+),求数列{bn}的前n项和Sn. 本节要点归纳 1.知识清单: (1)等比数列前n项和公式的直接运用. (2)等比数列基本量的运算. (3)错位相减法求和. 2.方法归纳:方程(组)思想、错位相减法. 3.常见误区:忽略q=1这种情况;运用错位相减法分不清项数. 学以致用·随堂检测促达标 1 2 3 4 5 1.已知等比数列{an}的前n项和为Sn,且a1+a2=-2,S3 ... ...
