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课件网) 第1章 §5 数学归纳法 基础落实·必备知识一遍过 重难探究·能力素养速提升 学以致用·随堂检测促达标 目录索引 课程标准 1.了解数学归纳法的原理. 2.能用数学归纳法证明一些简单的数列中的命题. 基础落实·必备知识一遍过 知识点 数学归纳法的定义 数学归纳法是用来证明某些与正整数n有关的数学命题的一种方法.它的基本步骤是: 不要误以为n0=1 (1)证明:当n取第一个值n0(n0是一个确定的正整数,如n0=1或2等)时,命题 成立; (2)假设当n=k(k∈N+,k≥n0)时命题成立,证明当n=k+1时,命题也成立. 根据(1)(2)可以断定命题对一切从n0开始的正整数n都成立. 名师点睛 数学归纳法中的两个步骤之间的关系 记P(n)是一个关于正整数n的命题.可以把用数学归纳法证明的形式改写 如下: 条件:(1)证P(n0)为真;(2)证若P(k)(k∈N+,k≥n0)为真,则P(k+1)也为真,结论: P(n)为真. 第一步验证了当n=n0时结论成立,即命题P(n0)为真; 第二步是证明一种递推关系,实际上是要证明一个新命题:若P(k)为真,则P(k+1)也为真. 只要将这两个步骤完成,就有P(n0)为真,P(k)真,P(k+1)真……,从而完成 证明. 思考辨析 1.数学归纳法的第一步n0的初始值是否一定为1 提示 不一定.如证明n边形的内角和为(n-2)·180°,第一个值n0=3. 2.在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为 n(n-3)条时,第一步应验证n的值是多少 提示 n=4. 过关自诊 1.判断正误.(正确的画√,错误的画×) (1)在利用数学归纳法证明问题时,只要推理过程正确,也可以不用归纳 假设.( ) (2)与正整数n有关的数学命题的证明只能用数学归纳法.( ) (3)用数学归纳法证明等式时,由n=k到n=k+1,等式的项数一定只增加了 一项.( ) × × × 2.用数学归纳法证明等式1+2+3+…+(2n-1)+2n=2n-1+ (n∈N+)的过程中,由n=k递推到n=k+1时,左边增加的项数为 . 2k 解析 左边增加的项为(2k+1)+(2k+2)+…+2k+1,共2k+1-2k=2k项. 重难探究·能力素养速提升 探究点一 对数学归纳法原理的理解 【例1】 (1)用数学归纳法证明不等式2n>(n+1)2(n∈N+)时,初始值n0应等于 . 6 解析 由题意,当n=1时,21<(1+1)2;当n=2时,22<(2+1)2;当n=3时,23<(3+1)2;当n=4时,24<(4+1)2;当n=5时,25<(5+1)2;当n=6时,26>(6+1)2,所以用数学归纳法证明不等式2n>(n+1)2(n∈N+)时,初始值n0应等于6. ★(2)用数学归纳法证明1+2+22+…+2n-1=2n-1(n∈N+)的过程如下: ①当n=1时,左边=1,右边=21-1=1,等式成立. ②假设当n=k(k≥1,k∈N+)时等式成立,即1+2+22+…+2k-1=2k-1,则当n=k+1时,1+2+22+…+2k-1+2k= =2k+1-1,所以当n=k+1时等式也成立.由此可知对于任意正整数n等式都成立. 上述证明,错误是 . 未用归纳假设 解析 本题在由n=k成立证明n=k+1成立时,应用了等比数列的求和公式,而未用上归纳假设,这与数学归纳法的要求不符. 规律方法 数学归纳法的三个注意点 (1)验证是基础:找准起点,奠基要稳,有些问题中验证的初始值不一定是1. (2)递推是关键:数学归纳法的实质在于递推,要正确分析式子中项数的变化,弄清式子两边的构成规律. (3)利用假设是核心:在第二步证明n=k+1所对应的命题时,一定要利用归纳假设. A.过程全部正确 B.n=1验证不正确 C.归纳假设不正确 D.从n=k到n=k+1的推理不正确 D 解析 在证明n=k+1所对应的命题时,没有应用n=k时的归纳假设,不是数学归纳法. 探究点一 用数学归纳法证明等式 规律方法 用数学归纳法证明恒等式时,应关注以下三点 (1)弄清n取第一个值n0时等式两端项的情况; (2)弄清从n=k到n=k+1等式两端增加了哪些项,减少了哪些项; (3)证明n=k+1时结论也成立,要设法将待证式与归纳假设建立联系,并朝n=k+1证明目标的表达式变形. 探究点三 用数学归纳法证明不等 ... ...
